2. Термодинамические процессы
2.1. Теплоёмкость
2.1.1.Вычислить удельные теплоемкости ср и сV гелия He, водорода H2 и углекислого газа СO2.
Решение
1. Удельные теплоёмкости газов определяются их молярной массой и числом степеней свободы молекул
, 
. (1)
2. Молярные массы заданных газов: m(He) = 4×10 3 кг/моль; m(H2) = 2×10 3 кг/моль; m(CO2) = 44×10 3 кг/моль; i(He) = 3; i(H2) = 5; i(CO2) = 6.
3. Вычислим удельные теплоёмкости
гелия: 
, 
, (2)
водорода: 
, 
, (3)
углекислого газа: 
, 
. (4)
2.1.2. Разность удельных теплоёмкостей некоторого газа cp cV равна 260 Дж/кг×К. Определить молярную массу этого газа.
Решение
1. Запишем уравнение разности удельных теплоёмкостей
, (1)
и разрешим полученное уравнение относительно молярной массы m
. (2)
Очевидно, что заданным газом является молекулярный кислород О2, представляющий собой двухатомную молекулу с числом степеней свободы i = 5.
2.1.3. Определить удельную теплоемкость сV смеси, состоящей из m1 = 10 граммов кислорода О2 и m2 = 20 граммов азота N2.
Решение
1. Для нагревания смеси газов на DТ требуется количество тепла DQ, определяемое уравнением
, (1)
где сV теплоемкость смеси.
2. С другой стороны, количество тепла, расходуемое на нагревании смеси может быть представлено так
, (2)
3. Приравняем правые части уравнений (1) и (2)
, (3)
где сV1 удельная теплоёмкость кислорода, сV2 удельная теплоёмкость азота.
4. Подставим в уравнение (3) значения удельных теплоёмкостей газов
, (4)
где i1 = i2 = 5 число степеней свободы молекул газа, m1 = 32×10 3 кг/моль,
m2 = 28×10 3 кг/моль молярные массы газов.
5. Разрешим уравнение (4) относительно cV
. (5)
2.1.4. Определить удельную теплоемкость ср смеси, состоящей из m1 = 10 граммов кислорода О2 и m2 = 20 граммов азота N2.
Решение
1. Воспользуемся уравнением (3) предыдущей задачи и перепишем его следующим образом
, (1)
где v1 = m1/(m1 + m2) массовая доля кислорода, v2 = m2/(m1 + m2) массовая доля азота.
2. Удельная теплоёмкость смеси ср можно представить по аналогии с уравнением (1) так
, (2)
, (3)
. (4)
3. Подставим в уравнение (4) значения характеристик газов: i = 5; m1 = 32×10 3 кг/моль; m2 = 28×10 3 кг/моль
. (5)
2.1.5. Определить удельную теплоёмкость сV смеси газов, содержащей V1 = 5 л атомарного водорода, и V2 = 3 л гелия, если газы находятся в одинаковых условиях.
Решение
1.Выразим массы газов из уравнения Клапейрона Менделеева
. (1)
2. Подставим далее, полученные значения масс в уравнение (1) задачи 2.1.4
. (2)
3. Подставим в уравнение (2) значения удельных теплоемкостей газов сV1 и cV2
,
,
, (3)
4. Подставим значения величин, входящих в последнее уравнение
. (4)
2.1.6. Определить удельную теплоёмкость ср смеси кислорода и азота, если количество вещества первого компонента равно n1 = 2 моль, а второго компонента n1 = 4 моль.
Решение
1. Выразим массы газов
. (1)
2. Подставим значения масс в уравнение (4) задачи 2.1.4
. (2)
3. Молярные массы газов равны: m1 = 32×10 3 кг/моль; m2 = 28×10 3 кг/моль. Кислород и азот состоят из двухатомных молекул, поэтому число степеней свободы равно i = 5
. (3)
2.1.7. Определить удельную теплоёмкость сV смеси азота и аргона, находящихся в одном баллоне, если массовые доли этих газов v1 и v2 одинаковы и равны v = 0,5
Решение
1. Запишем уравнение (1) задачи 2.1.4 в следующем виде
. (1)
2. Молекула азота состоит из двух атомов, поэтому: m1 = 28×10 3 кг/моль, i1 = 5, молекула аргона одновалентна m2 = 40×10 3 кг/моль, i2 = 3
. (2)
2.1.8. Хлор и криптон в атомарном состоянии, взятые в равных объемах, находятся в одинаковых условиях. Определить удельную теплоемкость ср смеси.
Решение
1. Для определения удельной теплоемкости воспользуемся уравнением (1) задачи 2.1.4
,
2. Хлор и криптон имеют следующие параметры: m1 = 35×10 3 кг/моль, m2 = 84×10 3 кг/моль, i1 = i2 = 3, переписать последнее уравнение следующим образом
. (1)
2.1.9. Определить удельную теплоемкость сV смеси ксенона и кислорода, если количества вещества газов одинаковы и равны n.
Решение
1. Выразим массы газов через количества вещества
. (1)
2. Запишем уравнение удельной теплоемкости смеси газов
, (2)
и проведем очевидные преобразования
, (3)
, (4)
где i1 = 3 число степеней свободы молекул ксенона, m1 = 0,131×кг/моль молярная масса ксенона, i2 = 5 число степеней свободы двухатомной молекулы кислорода, m2 = 32×10 3 кг/моль молярная масса кислорода.
3. Подставим параметры газов в уравнение (4)
. (5)
2.1.10. Степень диссоциации газообразного водорода a = 0,6. Определить удельную теплоемкость cV такого частично диссоциированного газа.
1. Решение
1. Процесс диссоциации заключается в том, что двухатомные молекулы под действием внешних условий электрического, механического, физического или термодинамического характера, распадаются на отдельные атомы.
2. Предположим далее, что в исходном состоянии в рассматриваемом объеме содержалось N двухатомных молекул водорода. После диссоциации будет иметь место смесь двух газов: молекулярного и атомарного водорода, причем 40% от общего количества будут составлять двухатомные молекулы, а 60% одноатомные. Пусть масса одного атома водорода равна m0, в этом случае массы этих газов, составляющих смесь, можно представить следующим образом
, (1)
где М первоначальная масса недиссоциированного водорода, m1 конечная масса недиссоциированного газа, m2 масса диссоциированного газа.
3. Уравнение удельной теплоёмкости сV смеси запишется в этом случае следующим образом
, (2)
где i1 = 5 число степеней свободы недиссоциированной молекулы водорода, i2 = 3 число степеней свободы диссоциированных одноатомных молекул, m1 = 2×10 3 кг/моль молярная масса водорода Н2, m1 = 1×10 3 кг/моль молярная масса атомарного водорода Н.
4. Подставим числовые данные величин в уравнение (2)
. (3)
2.1.11. Найти показатель адиабаты g для смеси газов, состоящей из m1 = 10 г гелия и m2 = 4 г водорода.
Решение
1. Определим удельные теплоёмкости смеси газов cp и cV с учётом того, что: i1 = 3, m1 = 4×10 3 кг/моль, i2 = 5, m2 = 2×10 3 кг/моль
, (1)
, (2)
, (3)
. (4)
2. Определим показатель адиабаты смеси гелия и водорода
. (5)
2.1.12. Смесь газов состоим из азота и аргона, взятых в одинаковых объемах. Определить показатель адиабаты g этой смеси.
Решение
1. Для определения удельной теплоёмкости смеси cV воспользуемся уравнением (2) задачи 2.1.5
, (1)
.(2)
2. Удельную теплоёмкость смеси cp определим по уравнению (1) задачи 2.1.8
сp = = 
. (3)
. (4)
3. Определим показатель адиабаты
. (5)
2.1.13. Определить показатель адиабаты g для смеси водорода и неона, взятых в одинаковых объемах и находящихся в равных условиях.
Решение
1. Неон с m1 = 20×10 3 кг/моль, будучи инертным газом, обладает одноатомной молекулой, имеющей три степени свободы i1 = 3, водородная молекула состоит из двух атомов, m2 = 2×10 3 кг/моль, i2 = 5.
2. Поскольку объемы составляющих смеси одинаковы, то уместно воспользоваться уравнениями (2) и (3) предыдущей задачи
, (1)
. (2)
3. Определим далее показатель адиабаты для заданной смеси газов
. (3)
2.1.14. Найти показатель адиабаты смеси газов g, содержащей водород и неон в одинаковых массовых долях v = 0,5.
Решение
1. Запишем параметры газов, составляющих заданную смесь: водород Н2 m1 = 2×10 3 кг/моль, i1 = 5; неон Ne m2 = 20×10 3 кг/моль, i2 =3.
2. Определим удельные теплоёмкости смеси по аналогии с уравнением (1) задачи 2.1.8
, (1)
, (2)
. (3)
3. вычислим показатель адиабаты смеси водорода и неона
. (4)
2.1.15. Определить показатель адиабаты g частично диссоциированного газообразного азота N2, степень диссоциации которого равна a =0,4.
Решение
1. Для решения задачи воспользуемся результатами анализа, проведенного в задаче 2.1.10
, (1)
, (2)
где m1 = 28×10 3 кг/моль, m2 = 14×10 3 кг/моль молярные массы недиссоциированного и диссоциированного газа, соответственно, i1 = 5, i2 = 3 степени свободы двухатомных и одноатомных молекул.
2. Подставим параметры газов в уравнение (2)
. (3)
3. Определим далее величину удельной теплоёмкости смеси ср
. (4)
. (5)
4. Найдём величину показателя адиабаты
. (6)
2.1.16. Определить степень диссоциации a газообразного хлора Cl2, если показатель адиабаты такого частично диссоциированного газа равен g = 1,55.
Решение
1. Будем считать, что масса недиссоциированных двухатомных молекул хлора равна m1 = (1 a)2m0N, масса диссоциированных одноатомных молекул, при этом, составляет m2 = am0N, где m0 масса атома хлора, N начальное число недиссоциированных молекул. Молярную массу недиссоциированных молекул примем равной m, а диссоциированных 0,5 m, число степеней свободы молекул будет соответственно равно i1 = 5, i2 = 3.
2. В соответствии с принятыми обозначениями запишем уравнения для удельных теплоёмкостей cp и cV
, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
. (5)
3. Запишем далее уравнение показателя адиабаты g
. (6)
4. Разрешим уравнение (6) относительно a
. (7)
2.1.17. Кислород О2 массой m = 0,16 кг нагревают на DТ = 12 К, затрачивая Q = 1744 Дж теплоты. Определить, протекал ли процесс при постоянном давлении или при постоянном объёме?
Решение
1. Определим удельные теплоёмкости кислорода сp и сV
, (1)
. (2)
2. Количество тепла, требуемое на нагревание газа, в случае постоянства его объёма или давления определяется уравнениями
, (3)
Таким образом, процесс, судя по всему, протекал при постоянном давлении.
2.1.18. При адиабатном сжатии газа его объём уменьшился в n = 10 раз, давление при этом возросло в k = 21,4 раза. Определить отношение теплоёмкостей этого газа Ср/СV.
Решение
1. Связь между конечными и начальными параметрами состояния газа определяется уравнением
(1)
откуда следует, что
. (2)
2.1.19. Азот адиабатически расширяется от объёма V до объёма 2V. Какова конечная температура, если начальная температура составляла Т1 = 273 К?
Решение
1. Молекула азота N2 состоит из двух атомов, число степеней свободы молекулы азота равно i = 5, молярная масса азота m = 28×10 3 кг/моль.
2. Определим удельные теплоёмкости азота
. (1)
3. Так как 
, то 
.
4. Запишем уравнение Пуассона применительно к заданным условиям
. (1)
2.1.20. При адиабатическом сжатии воздуха в цилиндре двигателя внутреннего сгорания давление изменяется от р1 @ 0,1 МПа до р2 @ 4 МПа. В начальной фазе сжатия температура составляет Т1 = 313 К. Определить температуру воздуха в конечной фазе сжатия.
Решение
1. В первом приближении можно считать, что воздух имеет двухатомные молекулы, так как на 78% состоит из азота, число степеней свободы i =5.
2. Определим показатель адиабаты воздуха
. (1)
3. Запишем уравнение Пуассона в виде
. (2)
4. Выразим из последнего соотношения конечную температуру Т2
. (3)
2.1.21. При адиабатическом расширении газа было зафиксировано двукратное увеличение объёма и уменьшение температуры в 1,32 раза. Определить число степеней свободы молекул этого газа.
Решение
1. Запишем уравнение для показателя адиабаты
, (1)
и уравнение Пуассона для заданных условий
. (2)
2. Выразим из уравнения (2) значение i
. (3)
2.1.22. Разность удельных теплоёмкостей двухатомного газа составляет Dc = 260 Дж/(кг×К). Определить молярную массу газа и его удельные теплоёмкости.
Решение
1. Заданную по условию задачи разность удельных теплоёмкостей можно представить следующим образом
, (1)
откуда
. (2)
2. Очевидно, что в задаче рассматривается кислород, для которого можно определить значения удельных теплоёмкостей
. (3)
2.1.23. Как будет меняться средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа, если его объём адиабатически увеличивается в два раза?
Решение
1. Определим показатель адиабаты газа с числом степеней свободы молекул i = 5, g = (i+2)/i =1,4.
2. При адиабатическом изменении объёма будет изменяться температура газа, следовательно, будет изменяться и скорость теплового движения молекул. Изменение скорости удобно представить в виде отношения
. (1)
3. В соответствии с уравнением Пуассона Т1/Т2 = (V2/V1) g-1, другими словами
. (2)
2.1.24. Для нагревания газа массой m = 1 кг на DТ = 1 К при постоянном давлении потребовалось Q1 = 912 Дж теплоты, а при постоянном объёме на этот процесс было затрачено Q2 = 649 Дж. Какой это газ?
Решение
1. Определим удельные теплоёмкости газа
, (1)
. (2)
2. Найдём показатель адиабаты газа и число степеней его молекулы
, (3)
молекула искомого газа, судя по числу степеней свободы, двухатомная.
3. Используя уравнение для удельной теплоёмкости газа при постоянном объёме (или при постоянном давлении) определим молярную массу газа
. (4)
Полученная величина молярной массы позволяет утверждать, что нагреванию подвергался кислород.
2.1.25. Как изменится средняя длина свободного пробега молекул двухатомного газа, если его давление адиабатически уменьшается в два раза?
Решение
1. Запишем уравнение для средней длины свободного пробега молекул
. (1)
2. Таким образом, для адиабатического процесса можно записать
g = 1,4; (2)
. (3)
2.2. Работа расширения газа
2.2.1. В вертикально расположенном цилиндре под поршнем массой m = 10 кг и площадью s = 1×10 2 м находится воздух. При изобарном нагревании поршень поднимается на высоту h = 0,2 м. Какая работа, при этом, совершена воздухом? Атмосферное давление постоянно и равно p0 = 0,1 МПа.
Решение
|
1. Работа в данном случае будет складываться из работы преодоления атмосферного давления и работы, затрачиваемой на перемещение поршня.
2. При расширении газа на поршень будет со стороны газа действовать сила F = p0s, работа которой определится как: A1 = p0sh.
3. Работа по перемещению поршня численно будет равна изменению его потенциальной энергии A2 = mgh.
4. Полная работа рассматриваемого процесса, таким образом, будет представляться следующим соотношением
. (1)
2.2.2. Какую работу совершает газ в количестве n = 12 моль при изобарном увеличении его температуры с t1 = 0 0C до t2 = 100 0C?
Решение
1. Запишем уравнение Клапейрона Менделеева
, (1)
и проанализируем размерность комбинации величин pV
. (2)
Как видно, левая часть уравнения Клапейрона Менделеева имеет размерность энергии или работы, что позволяет уравнение (1) переписать следующим образом
. (3)
2.2.3. Какую работу совершает кислород массой m = 0,32 кг при изобарном нагревании на DТ = 20 К?
Решение
1. На основании анализа, проведенного в предыдущей задаче, уравнение Клапейрона Менделеева можно записать так
. (1)
2. Подставим заданные величины в последнее соотношение, с учётом того, что молярная масса m = 32×10 3 кг/моль
. (2)
2.2.4. Какая масса водорода находится в цилиндре под поршнем, если при изменении температуры на DT = 430 К совершается работа DА = 400 Дж?
Решение
1. Разрешим уравнение (1) предыдущей задачи относительно искомой массы
. (1)
2.2.5. Газ, занимающий объём V1 = 12 л под давлением p1 = 0,1 МПа, был изобарно нагрет от температуры от температуры Т1 = 300 К до температуры Т2 = 400 К. Определить работу расширения газа.
Решение
1. Запишем систему уравнений для двух анализируемых состояний газа с целью определения величины конечного объёма
. (1)
2. Найдём далее работу расширения газа
. (2)
2.2.6. Кислород массой m = 0,16 кг, находящийся при начальной температуре t0 = 27 0C под действием внешней силы уменьшил свой объём в пять раз. Определить работу внешней силы.
Решение
1. Заданный процесс изменения состояния происходит при постоянной температуре, т. е. изотермически. Работа при изотермическом процессе определяется уравнением
. (1)
2. Применительно к заданным условиям, уравнение (1) можно переписать в виде
. (2)
2.2.7. В вертикальном цилиндре с площадью основания s = 10 2 м2 находится газ при температуре Т1 = 300 К. На расстоянии h = 0,25 м от основания расположен лёгкий поршень, на который поставлена гиря массой m = 2 кг. Какую работу совершит газ при его нагревании на DТ = 100 К? Атмосферное давление равно р0 = 0,1 МПа.
Решение
1. Определим начальный объём, занимаемый газом
. (2)
2. Найдём изменение объёма при нагревании газа
. (3)
3. При нагревании газа будет совершаться работа по преодолению силы тяжести поршня и силы, вызванной действием атмосферного давления
(3)
. (4)
2.2.8. В цилиндре под поршнем при температуре Т1 = 300 К и давлении р1 = 0,2 МПа находится водород, занимающий объём V1 = 8×10 4 м3. Как изменится температура газа, если изобарно над ним произвести работу А = 50 Дж?
Решение
1. На основании уравнения изобарного процесса определим изменение объёма газа при совершении заданной работы
. (1)
2. Запишем далее уравнение работы при изобарном процессе
. (2)
3. Определим из уравнения (2) искомое изменение температуры
(3)
4. При совершении заданной работы температура газа уменьшится на 9,4 К.
2.2.9. При изобарном нагревании газа от t1 = 20 0C до t2 = 50 0C совершается работа А = 2500 Дж. Определить число молекул, участвующих в процессе.
Решение
1. Запишем уравнение (1) задачи 2.2.3 в следующем виде
. (1)
2. Произведём замену комбинации величин 
, т. е. заменим комбинацию универсальной газовой постоянной R и числа Авогадро NA на постоянную Больцмана kB.
. (2)
2.2.10. Найти работу изотермического расширения двух молей идеального одноатомного газа, если известно, что концентрация молекул в конечном состоянии в два раза меньше, чем в начальном состоянии при температуре Т1 = 300 К.
Решение
1. Работу при изотермическом расширении газа определим, исходя из уравнения
. (1)
2. Концентрация молекул определяется как: 
, другими словами, при неизменности числа частиц уменьшение концентрации молекул в два раза, сопровождается увеличением объёма в два раза. Уравнение (1) в этой связи можно переписать так
. (2)
2.2.11. В двух идентичных цилиндрах под одинаковыми поршнями находятся в равных количествах и равнозначных условиях водород и кислород. Сравнить работы, которые совершают эти газы при изобарном нагревании. Массы, начальные и конечные температуры газов одинаковы.
Решение
1. При изобарном нагревании работа в общем случае определяется уравнением
, (1)
при линейном изменении температуры
. (2)
2. По условию задачи величина DТ и m для сравниваемых газов одинаковы, поэтому отношение работ представится следующим образом
. (3)
|
2.2.12. Некоторая масса газа, занимающего объём V1 = 0,01 м3, находится под давлением р1 = 0,1 МПа при температуре Т1 = 300 К. Газ вначале нагревают при постоянном объёме до температуры Т2 = 320 К, а затем при постоянном давлении доводят температуру до Т3 = 350 К. Найти работу газа при переходе из состояния 1 в состояние 3.
Решение
1. Переход газа из состояния 1 в состояние 2 не будет сопровождаться совершением работы, вся подводимая от внешнего источника энергия будет увеличивать внутреннюю энергию газа.
2. На участке 2 3, который протекает по изобарной схеме, совершается работа, определяемая уравнением
. (2)
3. Определим величину давления р2, используя уравнение изохорного процесса
. (3)
4. Найдём далее конечный объём газа
. (4)
5. Подставим р2 и V3 в уравнение (2)
. (5)
|
2.2.12. Некоторый газ переводится из начального состояния 1 в конечное состояние 4, как показано на рисунке. Какая при этом совершается газом работа?
Решение
1. На участках 1 2 и 3 4 совершается одинаковая по величине, обратная по знаку работа. На участке 1 2 газ расширяется, а на участке 3 4 происходит эквивалентное по объёму сжатие, другими словами,
. (1)
2. Изменение состояния на участке 2 3 происходит при постоянном давлении, причём объём газа изменяется от V до 2V, т. е. DV = V
. (2)
2.2.13. Водород массой m = 5×10 3 кг при постоянной температуре Т = 290 К изменяет свой объём в три раза. Определить совершаемую при этом работу.
Решение
1. Процесс изменения состояния газа изотермический, работа такого процесса определяется уравнением
. (1)
2. Применительно к условиям данной задачи уравнение (1) можно переписать следующим образом
. (2)
2.2.14. При адиабатном сжатии кислорода массой m = 1 кг совершается работа А = 0,1 МДж. Определить конечную температуру процесса, если он начался при температуре Т1 = 300 К.
Решение
1. При адиабатном процессе, когда отсутствует теплообмен с внешней средой, т. е. dQ = 0, работа определяется следующим образом
(1)
2. Молекула кислорода состоит из двух атомов, поэтому имеет пять степеней свободы i = 5, молярная масса кислорода равна m = 32×10 3 кг/моль. Уравнение теплоёмкости кислорода при неизменном объёме представится следующим образом
. (2)
3. Подставим значение удельной теплоёмкости cV в уравнение (1)
. (3)
4. Выразим из уравнения (3) разность температур
. (4)
5. Конечная температура, таким образом, равна Т1 + DТ @ 454 К.
2.2.15. Определить работу адиабатного расширения водорода массой m = 4×10 3 кг, если температура газа понизилась на DТ = 10 К.
Решение
1. Воспользуемся для решения задачи уравнением (3) предыдущей задачи, с учётом того что число степеней свободы двухатомной молекулы водорода i = 5, молярная масса m = 2×10 3 кг/моль
. (1)
2.2.16. Азот массой m = 2×10 3 кг при температуре Т1 = 300 К адиабатно сжат так, что его объём уменьшился в n = 10 раз. Определить конечную температуру азота Т2 и работу сжатия А.
Решение
1. Для определения конечной температуры воспользуемся уравнением взаимосвязи между конечными и начальными параметрами состояния газа при адиабатном процессе
. (1)
2. Определим показатель адиабаты с учётом того, что двухатомная молекула азота имеет пять степеней свободы i = 5
. (2)
3. Перепишем уравнение (1) с учётом условий задачи
. (3)
4. Работу сжатия найдём по уравнению (1) предыдущей задачи
. (4)
2.2.17. Кислород массой m = 1 кг, находящийся при температуре Т1 = 300 К уменьшил адиабатно свой объём в n = 10 раз. Определить работу процесса.
Решение
1. Определим показатель адиабаты кислорода
. (1)
2. Работа процесса, при этом, будет равна
. (2)
Отрицательный знак показывает, что процесс протекает с потреблением энергии, подводимой от внешнего источника.
