Системная составляющая энергии системы

ПРИЛОЖЕНИЕ III

СИСТЕМНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

Рассмотрим простую физическую статистическую систему (далее - систему) с неизменной полной энергией системы,  для которой :

-  состояние системы описывается количественно функционалами достаточно гладкой функции р(Х) плотности распределения элементов по непрерывным переменным Х ≡ {хk};

- постоянны энергии - полная Wsum , связанная, т. е. не зависящая от р(Х) и свободная W =∫Wp = const ≡ Cw ;

- существует функция E(Х) индивидуальной энергии элементов, так что E =∫Ep - внутренняя энергия системы.

Тогда вариация свободной энергии W = Cw равна нулю :

δ W(p) = ∫(W + pW'p)δp = 0, и, поскольку ∫δp ≡ 0, (см. 2-ю фундам. лемму - с.347 справочника Корнов) :

W + pW'p = const . (1)

Решение (1) как обыкновенного дифференциального для W и p:

 W = const + f(Х)/p, - где f - некоторая функция переменных {хk}.

Подстановка этого решения в функционал свободной энергии даёт:

W = ∫(const + f(Х)/p)p = ∫const p + ∫f(Х).

∫f(Х) не включает p и относится к связанной энергии, поэтому:

W = ∫const p = Cw, т.е. W = const = Cw, - имеет место "социологический принцип" равенства элементов системы по удельной свободной энергии W, - индивидуальному количеству.

Следовательно, существует не нулевая разность :

W – E = ∫(Cw –E) p ≡ ∫Bp = B, - некая системная составляющая свободной энергии с ядром B(p,Х), зависящим и от функции p ( в отличие от E(Х) - индивидуальной энергии элемента). Уместно назвать её B-функционалом Больцмана.

Выражение для B получается аналогично предыдущим выкладкам :

W = ∫( B +E)p = Cw,

δW(p) = ∫( B +E + pB'p)δp = ∫(Cw + pB'p)δp = 0,

Cw + pB'p = const, pB'p = const - Cw ≡ CH, и B = CHlnp + G(Х) , -

B = CH∫plnp + ∫ G(Х)p.

Для простой системы - без связей, условий - G(Х) = 0, так что :

W = B+E = Cw = CHlnp + E, и

p = exp{(Cw - E)/CH}, т.е. при CH= kT -

p = Ae – E/(kT), - известное распределение по энергии элементов статистических систем классической физики с энтропией S, отвечающей соотношению :

B = kT∫plnp = W– E = - TS.

Примечание. Здесь использованы естественные определения (т. е. не по справочникам, учебникам) всех составляющих энергии системы:

полная – просто вся ; связанная - не зависящая от распределения р(Х);

свободная - дополнение связанной до полной; внутренняя - энергия

элементов системы, отвечающая только индивидуальным значениям

непрерывных переменных Х = {хk} у каждого ; «энтропийная часть»

свободной энергии - TS названа системной (лучше - больцмановой ? )

составляющей, дополняющей внутреннюю до «равноправной» W=W.