Способ замены плоскостей проекций

Л Е К Ц И Я 10

СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

П л а н:

1. Сушность способа замены плоскостей

2. Применение способа замены плоскостей к отрезку прямой

3. Применение способа замены плоскостей к плоской фигуре

1. Сушность способа замены плоскостей

Этот способ заключается в том, что заданную систему плос­костей проек­ций заменяют новой системой так, что предмет (прямая или плоскость), не изменяя своего положения в про­странстве, оказывается в частном положении относительно новой системы плоскостей проекций. Плоскости проекций обра­зуют новую ортогональную систему.

В зависимости от условий задачи приходится заменять либо одну из заданных плоскостей проекций, либо обе, если заменой одной плоскости проекций не удается получить необходимого расположения проецируемого предмета относительно плоско­сти проекций.

Возьмем в системе плоскостей проекций Н и V произвольную точку А и построим ее прямоугольные проекции а и а' (рис. 60). Заменим фронтальную плоскость V новой плос­костью V1, перпендикулярной плоскости Н, т. е. от системы плоскостей перейдем к системе с новой осью jx1. Спроеци-

ровав точку А на плоскость V1 получим новую проекцию а1'. Горизонтальная проекция а точки А принадлежит обеим систе­мам плоскостей проекций. Из построений видно, что a1'aXi=Aa=a'ax=zA, т. е. при замене плоскости V плоскостью V1, пер­пендикулярной плоскости Н, координата проецируемой точки остается без изменения.

Для получения чертежа совмещаем все три плоскости – Н, V к V1 – в одну плоскость (рис. 60). В новой системе проекции a и a' находятся на линии проекционной связи, пер­пендикулярной к новой оси x1. При этом расстояние aXi a1' = axa'=zA.

Заменив горизонтальную плоскость проекций Н новой плос­костью H1, перпендикулярной плоскости V, от системы плоскостей проекций переходят к новой системе (рис. 61).

Построив проекции точки А в обеих системах, замечаем, что координата у остается неизменной. На чертеже отрезок oXla1=axa=yA, что и позволяет строить новую проекцию а1 заданной точки А на перпендикуляре, проведенном из а' к но­вой оси оx1.

Последовательная замена двух плоскостей проекций показа­на на рис. 62. Сначала плоскость V заменена плоскостью V1 перпендикулярной плоскости H, и построена новая проекция а1 точки А. Затем плоскость Н заменена плоскостью Н1 перпен­дикулярной плоскости V1, и построена новая проекция а1. Та­ким образом совершен последовательный переход от системы плоскостей проекций к системе, а затем к системе.

В системе плоскостей проекциями точки А будут а{ и а1', после­довательное построение которых определяется неизменностью координаты z в системе плоскостей и координаты y1 в системе плоскостей

Решение задач данным методом рассмотрим на двух при­мерах.

2. Применение способа замены плоскостей

к отрезку прямой

Пример 1. Определить длину отрезка АВ прямой по его проекциям ab и а'Ь' (рис. 63).

Задача решается путем замены одной из заданных плоско­стей проекций новой плоскостью проекций, параллельной отрез­ку АВ. На новую плоскость отрезок проецируется в истинную величину.

При замене плоскости V плоскостью V1, параллельной отрез­ку АВ, новую ось ох1 проводят параллельно горизонтальной про­екции ab (рис.63 а). Опустив из точек а и b перпендикуляры на ось ох1 и отложив на них aXla1'=axa' и bXib1' =bxb', получа­ют новую проекцию а1'b'1, равную отрезку АВ, а также угол ан, равный углу наклона прямой к плоскости Н.

На рис. 63 б дано решение той же задачи путем замены плоскости Н плоскостью Н1, параллельной отрезку АВ. В этом случае ось ох1 располагаем параллельно фронтальной проек­ции a' b' и аналогично предыдущему получаем проекцию а1b1 равному заданному отрезку, и угол αv , раный углу наклона прямой к плоскости V.

3. Применение способа замены плоскостей

к плоской фигуре

Пример 2. Определить величину и форму треугольника АВС по его проекциям abc и а'b'с' (рис. 64).

Треугольник прое­циру­ет­ся без искажения на па­рал­лельную ему плос­кость про­екций. В общем случае од­ной заменой плос­костей проек­ций этого добиться невоз­можно, поэто­му после­дова­тель­но заменяют две плос­кости проек­ций.

Сначала заменяют плос-кость V плоскостью V1 пер-пен­ди­ку­­лярной плоскости треу­гольника. Для этого в плоскости тре­уголь­ни­ка проводят горизонталь AD и пер­пендикулярно к ней рас­пола­га­ют плоскость V1. На чертеже построение сводится к прове­де­нию оси х1, перпендикулярной горизонтальной проек­ции ad горизонтали. Горизонталь AD проецируется на плос­кость V1 в точку a1' ≡d1, а треугольник — в отрезок b1c1.

Затем заменяют плоскость Н плоскостью Н1 параллельной плоскости треугольника ABC. Ось ох2 будет параллельна проек­ции b1'а1'с1', а проекция b1а1с1 отобразит истинную величину треугольника.