Дифференцированность элементарных функций

В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные любых элементарных функций.

Докажем, что все основные элементарные функции (за исключением ) дифференцированы на своих областях определения, причем выполняются формулы, которые запишем в отдельную так называемую таблицу производных:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Доказательство 1. Пусть на некотором промежутке Х задана постоянная функция . Тогда для произвольных точек и имеем и . Следовательно, , а потому и и .

Для сокращения доказательства дальнейших формул предоставляем их в конспективном виде.

2.

(учтена формула (3) гл. 5, §7).

3.

(учтена формула (2) гл. 5, §7). В частности, при получим .

4.

(учтена формула (1) гл. 5, §7). В частности, при получим .

5.

(учтена первая важная граница (гл. 5 §5) и непрерывность функции ).

6. Для нахождения производной функции представим ее в виде и рассмотрим как сложную функцию: , . Тогда и . Следовательно, , так что .

7. По правилу дифференцирования частного имеем

8. Аналогично доказывается, что .

9. Функция является обратной к функции , причем производная при не равна нулю. А потому по правилу дифференцирования обратной функции

(Перед корнем выбран знак плюс, поскольку при ).

Следовательно,

10. Аналогично доказывается, что

11. Функция является обратной к функции , причем производная при не равна нулю. А потому по правилу дифференцирования обратной функции

Следовательно, .

12. Аналогично доказывается, что

.

В конце приведем формулу дифференцирования показательно-степенной функции , где и - дифференцированные функции.

По правилу дифференцирования сложной функции имеем

,

так что .

Подчеркнем еще раз, что таблица производных вместе с правилами дифференцирования составляют основу дифференциального исчисления. Пользуясь ними, можно найти производные от функций, которые образованы с помощью арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями, то есть перейти от любых элементарных функций, снова к элементарным. Следовательно, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

Пусть функция имеет производную на промежутке Х. Если в точке производная , в свою очередь, дифференцированная, то ее производную называют производной второго порядка или второй производной функции в точке и обозначают одним из символов .

Определение 1. Пусть функция имеет на промежутке Х производные . Если в точке существует производная функции , то ее называют производной n-го порядка функции в точке и обозначают одним из символов , .

Следовательно, если функция имеет в точке х производные к n-го порядка включительно, то .

Определение 2. Функция , которая имеет на некотором промежутке Х производные к n-го порядка включительно, называется n раз дифференцированной на Х. Функция, которая имеет на Х производные всех порядков, называется бесконечно дифференцированной на Х.

Из определения 1 непосредственно следует, что

,

где и - произвольные постоянные, а и - n раз дифференцированные функции.

В общем случае для вычисления производной высшего порядка нужно предварительно найти производные всех низших порядков. В отдельных случаях удается установить общее выражение для производной n-го порядка.

Найти производную n-го порядка функции . Имеем последовательно

В частности, при имеем , а при соответственно, где символом обозначено произведение натуральных чисел, которые не превышают n и имеют с n одинаковую парность (например, ).

Для выражения имеет место формула: . В частности, при имеем

а при соответственно

Найти производную n-го порядка функции . Учитывая, что , будем иметь

Найти производную n-го порядка функции . Имеем последовательно

В частности, если , то .

Найти производную n-го порядка функции . Имеем последовательно

В общем случае, как нетрудно видеть,

Целиком аналогично

Пусть функция дифференцирована в точке х, то есть существует граница

Согласно теореме 2 (гл. 5, §1) для всех значений из довольно малого окружения точки х имеем равенство

где при . Отсюда

где - бесконечно малая высшего порядка по сравнению .

Замечание. Если, наоборот, в точке х для прироста функции имеет место равенство

где - постоянная, то функция - дифференцирована в точке х и .

Действительно, из последней формулы

Определение. Дифференциалом функции точке х называется основная, линейная относительно часть прироста функции в этой точке

Дифференциалом независимой переменной х будем считать его прирост , то есть . Следовательно, .

Замечание. Из последней формулы следует, что . Именно поэтому производную часто обозначают или и понимают ее как отношение двух дифференциалов: дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Поскольку , то

,

и при довольно малых имеет место формула

которой часто пользуются при приближенных вычислениях.

Для выяснения геометрического содержания дифференциала снова обратимся к рис.45. Из треугольника :

.

Таким образом, дифференциал функции равен приросту ординаты касательной к графику функции в точке .

Из правил дифференцирования следуют правила вычислений дифференциалов функций:

а) ;

б) ;

в) .

Для иллюстрации докажем последнее правило.

Пусть , тогда

Установим формулу для дифференциала сложной функции , где и - дифференцированные функции своих аргументов, таким образом, требования теоремы 2 (§3) выполнены.

С одной стороны, , где - независимая переменная, а с другой - в силу вышеупомянутой теоремы

где .

Следовательно, внешний вид дифференциала функции сохраняется и в случае, когда является функцией, а не независимой переменной.

Это важное свойство дифференциала называют инвариантностью его формы. Ее удобно использовать для вычисления производной функции, заданной параметрически.

Коротко остановимся на таком способе задания функции с помощью двух функций . Предположим, что функция имеет обратную . Тогда, очевидно, у является некоторой функцией от . Таким образом, пара функций и определяют некоторую функцию , заданную параметрически. Вспомогательная переменная при этом называется параметром.

Предположим, что функции и - дифференцированные в каждой точке промежутка , причем при всех . Учитывая, что а , будем иметь производную от функции, заданной параметрически, в виде

Пусть функция раз дифференцированная на промежутке Х. Тогда в каждой точке существует, в частности, ее дифференциал , который в дальнейшем будем называть также дифференциалом первого порядка функции . Поскольку прирост аргумента величина постоянная, то является функцией одной переменной х. Дифференциал этой функции будем называть дифференциалом второго порядка функции и будем обозначать или . Следовательно, по определению, .

Дальше имеем

И, наконец, если для функции обозначен дифференциал -го порядка , то дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал первого порядка от дифференциала -го порядка, то есть

По индукции ясно, что

Из последней формулы следует, что при произвольном n

то есть производную n-го порядка функции можно представить как отношение ее дифференциала n-го порядка к n-й степени дифференциала аргумента.

Замечание. Дифференциалы n-го порядка уже не имеют свойства инвариантности формы. Действительно, уже при , с одной стороны, если - независимая переменная, имеем . С другой, для сложной функции , где , имеем

где

Оперируя с дифференциалами, удобно вычислять производные высших порядков от функции, заданной параметрически с помощью двух функций .

Для конкретности остановимся на случае нахождения второй производной , считая функции и дважды дифференцированными и .

Имеем последовательно и

Но поскольку х - независимая переменная, то , и потому

Следовательно, окончательно