Контрольная работа

К. р. 1 вар. 1

1.1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 4 м/c. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же начальной скоростью v0 верти­кально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от на­чального пункта встре­тятся тела? Сопроти­вление воздуха не учи­тывать.

Дано: v0 = 4 м/c

Найти: h – ?

Направим ось y вер­тикально вверх, на­чало оси выберем на поверхности Земли в точке бросания тел.

Скорость движения тела

.

Высота подъема

.

Когда скорость пер­вого тела уменьшится до нуля, оно достигнет наивысшей точки подъема. Это прои­зой­дет в момент вре­мени t1, для которого

откуда время подъема тела

.

Тогда высота наивыс­шей точки подъема

.

Дальнейшее движе­ние первого тела можно рассматривать как падение без на­чальной скорости с высоты

.

Уравнение движе­ния первого тела будет иметь вид

одновременно с паде­нием первого тела бу­дет происходить дви­жение вверх второго тела. В момент времени t2 тела встретятся на высоте h.

Для первого тела

для второго тела

.

Приравнивая правые части, имеем

откуда

.

Находим высоту, на которой встретятся тела

м.

Проверка размерности:

Ответ: h = 0,6 м.

1.11. При горизон­тальном полете со ско­ростью v =250 м/с снаряд массой m = 8 кг разорвался на две части. Большая часть массой m1 = 6 кг полу­чила скорость u1 = 400 м/с в направлении полета снаряда. Опре­делить модуль и направление ско­рости u2 меньшей части снаряда.

Дано: v =250 м/с m = 8 кг m1 = 6 кг u1 = 400 м/с

Найти: u2 – ?

Предположим, что меньшая часть снаряда полетит в направлении противоположном на­правлению полета снаряда. По закону сохранения импульса

(1)

Из уравнения (1) выразим скорость меньшей части снаряда

(2)

Согласно условию

,

тогда выражение (2) примет вид

м/с.

Так как полученный результат положительный направление u2 совпадает с принятым в расчете.

Проверка размерности:

Ответ: u2 = 200 м/с, направление противоположно полету снаряда.

1.21. В деревянный шар массой m1 = 8 кг, подвешенный на нити длиной l = = 1,8 м, по­падает горизонтально летящая пуля массой m2 = 4 г. С какой ско­ростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пу­лей отклони­лась от вертикали на угол a = 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, цент­ральным.

Дано: m1 = 8 кг l = 1,8 м m2 = 4 г = 4·10-3 кг a = 3°

Найти: v – ?

Запишем закон со­хранения импульса для неупругого удара в скалярной форме отно­сительно оси x

откуда

(1)

где v ¾ скорость пули до столкновения; u ¾ скорость пули и шара после их столкнове­ния.

Пусть в результате столкновения с пулей центр массы шара поднялся на высоту h, тогда по закону со­хранения энер­гии

откуда

(2)

Из рисунка имеем

.

Подставляя выражение для h в уравнение (2) получим

откуда

.

Подставляя получен­ное выражение в (1), получим

.

Используя тригоно­метрическое уравнение, преоб­разуем последнее выражение

м/с.

Проверка размерности:

Ответ: v = 440 м/с.

1.31. Определить ра­боту растяжения двух соединенных последо­вательно пружин жест­костями k1 = 400 Н/м и k2 = 250 Н/м, если пер­вая пружина при этом растянулась на D l1 = 2 см.

Дано: k1 = 400 Н/м k2 = 250 Н/м Dl1 = 2 см = 2·10-2 м

Найти: A – ?

Решение:

По закону Гука про­екция вектора силы упру­гости на ось Ox, направленная по век­тору переме­щения конца пружины при её деформации равна

.

На пружины действует одна и та же сила F, следовательно, силы упругости Fу1 и Fу2 равны

откуда

м.

0,208 Дж.

Проверка размерности:

м2×кг×с-2 = Дж.

Ответ: A = 0,208 Дж.

1.41. Шарик массой m = 60 г, привязанный к концу нити длиной l1 = 1,2 м, вращается с частотой n1 = 2 с-1, опираясь на горизон­тальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси до расстояния l2 = 0,6 м. С ка­кой часто­той n2 будет при этом вращаться шарик? Какую работу А со­вер­шает внешняя сила, укорачивая нить? Тре­нием шарика о плос­кость прене­бречь.

Дано: m = 60 г = 6·10-2 кг l1 = 1,2 м n1 = 2 с-1 l2 = 0,6 м

Найти: n2 – ? A – ?

Решение:

Линейную скорость вращения шарика можно определить по формуле

, (1)

где ω – угловая скорость; R – радиус окружности.

Связь угловой скорости с частотой вращения

.

Тогда формула (1) примет вид

.

Так как скорость шарика не изменяется

,

откуда

c-1

Работу внешней силы найдем по формуле

.

Силу выразим согласно второму закону Ньютона

F = ma.

При равномерном вращении полное ускорение шарика равно нормальному ускорению

.

Для упрощения расчетов найдем линейную скорость шарика

м/c.

Работу найдем интегрированием

Дж.

Проверка размерности:

Ответ: A = – 9,4 Дж.

1.51. На скамье Жу­ковского сидит чело­век и держит на вытя­нутых руках гири мас­сой m = 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси скамьи l = 70 см. Скамья вра­щается с частотой n1 = 1 с-1. Как изменится частота вра­щения ска­мьи и какую работу А произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l2 = 20 см? Мо­мент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси J = 2,5 кг×м2.

Дано: m = 5 кг l = 70 см = 0,7 м n1 = 1 с-1 l2 = 20 см = 0,2 м J = 2,5 кг×м2

Найти: n2 – ? A – ?

Решение:

Согласно условию задачи момент внеш­них сил относительно оси вращения z, сов­па­дающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом проекция Lz момента импульса системы остаётся постоянной,

,

где Jz - момент инерции платформы с чело­веком и гирями относительно оси z; w - угловая скорость.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в систему. В начальном состоянии

а в конечном состоянии

где момент инерции человека и скамьи в начальном и конечном со­стоянии;

момент инерции двух гирь в начальном и конечном состоянии.

C учетом этого

. (1)

Момент инерции человека и скамьи не изменится

.

Момент инерции двух гирь тогда . Угловые скорости в начальном и конечном положениях соответственно равны

.

Тогда выражение (1) примет вид

,

откуда

c-1.

Работа равна изменению кинетической энергии

Дж.

Проверка размерности:

Ответ: n2 = 2,6 с-1; A = 240,65 Дж.

1.61. Определить напряженность G гравитационного поля на высоте h = = 1000 км над поверхностью Земли. Считать известными ускорения g сво­бодного падения у поверхности Земли и ее радиус R.

Дано: h = 1000 км = 106 м

Найти: G – ?

Модуль напряженности гравитационного поля материальной точки с массой М на расстоянии r от неё равен

(1)

где g = 6,67×10-11 Н×м2/кг2 - гравитационная постоянная;

r = R + h ; R = 6,37×106 -радиус Земли;

М - масса Земли.

Ускорение свободного падения у поверхности Земли

отсюда

.

Подставляя выражение для М в уравнение (1) находим напря­женность гравитационного поля Земли

Н/кг

Проверка размерности:

Ответ: G = 7,32 Н/кг.

1.71. В цилиндр длиной l = 1,6 м, заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении p0, начали медленно вдвигать поршень площадью основания S = 200 см2. Определить силу F, действующую на поршень, если его остановить на расстоянии l1 = 10 см от дна цилиндра.

Дано: l = 1,6 м p0 = 1,013·105 Па S = 200 см2 = 2·10-2 м2 l1 = 10 см = 0,1 м

Найти: F – ?

Решение:

Найдём объём V0 газа в цилиндре при выдвинутом поршне и объём V1 при вдвинутом поршне

По условию р0 = 1,013·105 Па – нормальное атмосферное давление. Предположив, что Т = const имеем

откуда

откуда

.

Н = 32,42 кН.

Проверка размерности:

Ответ: F = 32,42 кН.

1.81. Пассажирский самолет совершает полеты на высоте h1 = 8300 м. Чтобы не снабжать пассажиров кислородными масками, в кабине при помощи компрессора поддерживается постоянное давление, соответствующее высоте h2= 2700 м. Найдите разность давлений внутри и снаружи кабины. Температуру наружного воздуха считать равной t1 = 0°C.

Дано: h1 = 8300 м h2 = 2700 м T1 = 0°C = 273 К

Найти: Δp – ?

Решение:

Зависимость убывания давления газа с высотой в поле силы тяжести определяется барометрической формулой

где р0 = 1,013·105 Па – нормальное атмосферное давление;

R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная;

M – молярная масса газа, для воздуха М = 29·10-3 кг/моль.

Тогда для давлений снаружи и внутри самолета получим выражения

;

.

Отсюда разность давлений внутри и снаружи кабины

Произведем вычисления, полагая температуру внутри кабины самолета равной T2 = 293 К

Ответ:

1.91. Масса m=1 кг воздуха, находящегося при давлении р1=150 кПа и температуре t1=30°С расширяется адиабатически, и давление при этом падает до р2=100 кПа. Во сколько раз увеличится объем воздуха? Найти конечную температуру t2 и работу А, совершенную газом при расширении.

Дано: воздух m =1 кг р1 =150 кПа = 1,5·105 Па T1 = 30°С =303 К р2 =100 кПа = 1·105 Па

Найти: V2/V1 – ? T2 – ? A – ?

Решение:

При адиабатном процессе объем и давление связаны соотношением

(1)

где γ – показатель адиабаты, для воздуха γ = 1,4

Из выражения (1) найдем, во сколько раз увеличился объем

При адиабатном процессе температура и давление связаны соотношением

,

откуда конечная температура

.

Работу газа при адиабатном процессе можно определить по формуле

, (2)

где R = 8,31 Дж/(моль·К) – молярная газовая постоянная;

M – молярная масса газа, для воздуха М = 29·10-3 кг/моль.

Произведем вычисления по формуле (2)

Проверка размерности:

Ответ: