Департамент образования города Москвы
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования города Москвы
Московский городской педагогический университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики его обучения
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Математический анализ
Специальность: 050202.65 «Информатика»,
Специалитет, квалификация - учитель информатики.
Математический факультет, Курс 1, 2, Семестр 1- 4
Часть I. Программа учебной дисциплины
Москва
2010
Программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа и методики его преподавания 5 ноября 2008 года, протокол
Программа повторно обсуждена, уточнена и утверждена на заседании кафедры математического анализа и методики его преподавания 17 декабря 2009 г., протокол №5.
Программа утверждена на заседании ученого совета математического факультета 25 декабря 2009 г., протокол №5.
Составители:
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и методики его преподавания ;
старший преподаватель кафедры математического анализа и методики его преподавания ;
кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и методики его преподавания .
Заведующий кафедрой:
профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и методики его преподавания .
Рецензент:
профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры элементарной математики МПГУ .
Пояснительная записка
Настоящая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО от 2005 года: на дисциплину отводится 335 часов (210 часов аудиторных занятий и 125 часов самостоятельных занятий студентов).
Цель курса математического анализа по данной специальности состоит в овладении знаниями, необходимыми для формирования представлений об основных понятиях математики, и математическими методами, используемыми при изучении информатики.
Задачи курса:
* дать современное базовое теоретическое обеспечение обязательных разделов курса математического анализа, определенное действующими стандартами образования;
* сформировать навыки использования математического моделирования как метода систематизации информации, выраженном в составлении и обработке моделей и применении этих моделей на практике.
Межпредметные связи курса нашли свое отражение, в первую очередь, в приложениях математического анализа – практически для всех основных понятий в программе указаны геометрические и физические приложения. Кроме этого, математика является естественной областью приложений информатики и важнейшим звеном, связывающим информатику с другими науками.
Для успешного освоения настоящего курса студенты должны владеть школьными курсами алгебры и начал математического анализа в соответствии с действующими стандартами образования.
В целом, программа курса математического анализа ориентирована на подготовку учителя информатики основной и старшей школ.
Требования к уровню освоения курса математического анализа
Обучающиеся должны иметь представление
Об аксиоматике множества действительных чисел. О числовой последовательности, способах ее задания и свойствах. О геометрическом и физическом смысле дифференцируемости функции в точке, производной и дифференциала. О сходимости и равномерной сходимости функциональных рядов и о применении степенных рядов для приближенных вычислений значений функций и интегралов. Об использовании дифференциальных уравнений для решения задач естествознания.
Обучающиеся должны знать
Определение модуля действительного числа, ограниченного множества, граней ограниченного множества. Определение функции, способы ее задания, свойства. Определение предела последовательности и функции одной переменной (на бесконечности и в точке), его геометрический смысл и свойства. Определение дифференцируемости функции в точке, производной и дифференциала. Определение первообразной и неопределенного интеграла, формулу Ньютона-Лейбница. Определение предела функции нескольких переменных. Определение, свойства и приложения двойного интеграла. Определение, свойства и приложения криволинейного интеграла. Основные понятия, связанные с числовыми рядами, а также свойства сходящихся рядов.
Обучающиеся должны уметь
Оперировать с рациональными и иррациональными числами. Строить графики функций элементарными методами, находить их множество определения и множество значений, устанавливать четность и нечетность, периодичность. Вычислять предел последовательности и функции (как на бесконечности, так и в точке), устанавливать непрерывность функции. Вычислять производные элементарных функций, составлять уравнение касательной и нормали к графику функции, применять дифференциал в приближенных вычислениях, вычислять производные и дифференциалы высших порядков, исследовать функцию на монотонность, экстремумы, выпуклость, находить наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции на промежутке, строить графики функций и вычислять пределы функций с помощью производной. Применять основные приемы интегрирования, вычислять площади фигур в декартовых и полярных координат, параметрически заданных фигур, вычислять длину дуги и объемы пространственных тел, применять интеграл для нахождения некоторых физических величин. Находить частные производные функций нескольких переменных первого и высших порядков, исследовать функцию двух переменных на экстремум. Исследовать числовые ряды на сходимость. Разлагать элементарные функции в ряд Тейлора. Решать простейшие дифференциальные уравнения первого и второго порядка.
Иметь навыки (обладать компетенциями)
Применения математического анализа в решении текстовых задач на экстремум. Применения дифференциального и интегрального исчислений для решения геометрических и физических задач. Приближенных вычислений с помощью разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Решения задач естествознания составлением простейших дифференциальных уравнений.
Требования государственного стандарта
Последовательности и ряды; дифференциальное и интегральное исчисления. Дифференциальные уравнения; функции комплексного переменного; элементы функционального анализа.
Распределение тематических разделов курса по семестрам
№ п/п | Наименование разделов | № семестра | Форма промежуточного контроля | Форма итогового контроля |
1. | Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. | 1 | экзамен | |
2. | Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Интегральное исчисление функций одной переменной. | 2 | зачет | |
3. | Теория рядов. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. | 3 | зачет | |
4. | Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. | 4 | экзамен |
Содержание курса математического анализа
Раздел 1. Введение в анализ
Введение. Проблемы практики, приведшие к формированию математического анализа.
I. Действительные числа. Числовые множества. Рациональные и иррациональные числа. Аксиоматика множества действительных чисел. Модели множества действительных чисел: множество бесконечных десятичных дробей и числовая прямая. Числовые промежутки, окрестности. Модуль действительного числа, его свойства. Ограниченные и неограниченные числовые множества, грани ограниченного множества. Различные формулировки свойства непрерывности множества действительных чисел: принцип разделяющего числа, существование граней у ограниченного множества принцип вложенных отрезков. Критерий единственности разделяющего числа. Принцип стягивающихся отрезков.
II. Числовые функции. Понятие функции, способы ее задания, классификация функций по свойствам (четность, периодичность, монотонность, ограниченность) и по видам (рациональные, иррациональные, тригонометрические функции). Построение графиков функций (элементарные приемы). Функция как математическая модель физического процесса. Композиция функций. Обратная функция, теорема существования. Функции, заданные неявно, параметрически и в полярных координатах, их графики. Сужение функции. Последовательности, подпоследовательности. Аналитическое и рекуррентное задание последовательности. Прогрессии.
III. Теория пределов. Предел последовательности: определение, геометрический смысл. Арифметические операции над пределами. Сходимость монотонной ограниченной последовательности (теорема Вейерштрасса). Ограниченность сходящейся последовательности. Число 
как предел последовательности.
Функции, бесконечно малые при 
: определение, геометрический смысл, свойства. Предел функции на бесконечности. Единственность предела, Теоремы о предельном переходе в неравенствах. Арифметические операции над пределами функций. Бесконечно большие функции, их свойства. Предел отношения двух многочленов при .
Бесконечно малые функции при 
и предел функции в точке. Свойства пределов. Бесконечно большие функции при .
Эквивалентность определений предела по Коши («на языке 
») и по Гейне («на языке последовательностей»).
Техника вычисления пределов функций. Простейшие приемы раскрытия неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты, алгоритм их нахождения.
IV. Непрерывность. Непрерывность функции в точке: различные определения и их эквивалентность. Локальные свойства непрерывной функции (сохранение знака и ограниченность в окрестности точки непрерывности). Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность рациональных и тригонометрических функций. Непрерывность композиции непрерывных функций. Точки разрыва, их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема о непрерывности обратной функции. Непрерывность иррациональных функций.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
I. Производная и дифференциал. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная как математическая модель физических процессов (мгновенной скорости движущейся точки, изменения количества теплоты). Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал, их геометрический и физический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила и формулы дифференцирования. Дифференцирование композиции функций, дифференцирование обратной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.
II. Применение производной к исследованию функций. Теоремы Ферма, Ролля. Теорема Лагранжа и ее следствия. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции на промежутке. Экстремумы функций, их отыскание. Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной функции на отрезке и незамкнутом промежутке. Выпуклость функции на промежутке, точки перегиба. Построение графиков функций.
Теорема Коши. Правило Лопиталя. Использование дифференциального исчисления для вычисления пределов.
Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной переменной
I. Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Таблица основных интегралов. Основные приемы интегрирования: элементарные, подстановка, замена переменной, интегрирование по частям, метод неопределенных коэффициентов. Использование таблиц. Интегрирование некоторых классов функций (рациональных, иррациональных, тригонометрических).
II. Определенный интеграл. Вычисление пути за данный промежуток времени и площади криволинейной трапеции с помощью первообразной. Определенный интеграл как разность значений первообразной; его свойства. Задачи, приводящие к понятию интеграла Римана. Суммы Дарбу и их свойства. Интеграл Римана, его свойства, критерий интегрируемости функции на отрезке. Равномерная непрерывность функции на отрезке, теорема Кантора. Интегрируемость монотонных и непрерывных функций. Аддитивное свойство интеграла Римана и теорема о среднем. Существование первообразной у непрерывной функции, формула Ньютона-Лейбница. Интеграл Римана как предел интегральных сумм. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
III. Приложения определенного интеграла. Квадрируемая фигура и ее площадь, необходимое и достаточное условие квадрируемости. Квадрируемость криволинейной трапеции. Вычисление площадей фигур, ограниченных параметрически заданными кривыми, и кривыми, заданными в полярных координатах. Спрямляемые дуги, вычисление длины дуги. Кубируемые тела и их объемы. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений. Принцип Кавальери. Объем тела вращения. Вычисление объемов пирамиды, конуса, шара.
Несобственные интегралы первого и второго рода.
Раздел 4. Теория рядов
I. Числовые ряды. Формула Тейлора для многочлена и произвольной функции. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Числовой ряд, его сходимость, свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признаки сходимости знакоположительных рядов (теоремы сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак). Коммутативное свойство знакоположительного сходящегося ряда. Критерий сходимости произвольного числового ряда. Абсолютная и условная сходимость рядов, сходимость и коммутативность абсолютно сходящихся рядов. Понятие о теореме Римана (перестановка членов условно сходящегося ряда).
II. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная сходимость функциональных последовательностей и рядов, область сходимости. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы, почленное интегрирование, дифференцирование).
III. Степенные ряды. Теорема Абеля о степенных рядах. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда, непрерывность его суммы, возможность почленного дифференцирования и интегрирования. Единственность разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора, достаточные признаки сходимости ряда Тейлора. Разложение в степенные ряды функций 
. Ряды в комплексной области. Применение степенных рядов для приближенных вычислений значений функций и интегралов.
Раздел 5. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
I. Функции нескольких переменных. Числовые функции в 
(примеры). Область определения, множество значений функции нескольких переменных. Графики функций, линии и поверхности уровня функций нескольких переменных.
II. Предел функций нескольких переменных. Предел по множеству. Непрерывность функций нескольких переменных. Свойства функции, непрерывной на компакте.
III. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Задача о проведении касательной плоскости к функции двух переменных. Приращение функции нескольких переменных. Дифференцируемость функции в точке. Частные производные, дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости функции в точке (непрерывность, существование частных производных). Достаточные условия дифференцируемости. Дифференцирование композиции функций, инвариантность дифференциала. Производная по направлению, градиент. Использование дифференциала в приближенных вычислениях. Частные производные высших порядков, дифференциалы высших порядков. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
IV. Экстремумы функции нескольких переменных. Максимумы и минимумы функции нескольких переменных, необходимые условия экстремума функции двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве. Условные экстремумы.
Раздел 6. Интегральное исчисление
функций нескольких переменных
I. Двойной интеграл и его приложения. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла, определение двойного интеграла. Необходимое и достаточное условие существования двойного интеграла. Интегрируемость непрерывной функции. Свойства двойных интегралов, их вычисление. Двойной интеграл в полярных координатах. Геометрические и физические приложения двойных интегралов.
II. Криволинейные интегралы и их приложения. Задача о площади цилиндрической поверхности и о массе однородного стержня. Криволинейный интеграл первого рода: определение, свойства, вычисление, приложения. Криволинейный интеграл второго рода: определение, свойства, вычисление, приложения.
Формула Грина-Остроградского. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру, условие независимости интеграла от пути интегрирования. Восстановление функции по полному дифференциалу.
Раздел 7. Дифференциальные уравнения
I. Уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения и его порядка, общее и частное решения, начальные условия, интегральные кривые. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка и его решения. Поле направлений, изоклины. Метод ломаных Эйлера. Различные типы дифференциальных уравнений первого порядка: в полных дифференциалах, с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли; алгоритмы их решения.
II. Уравнения высших порядков. Линейное однородное и линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, структура общего решения. Отыскание частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов и методом вариации произвольных постоянных. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Основная литература:
1. Мордкович, А. Г. Математический анализ : Учебное пособие
/ А. Г. Мордкович, А. С. Солодовников. – М. : Вербум-М, 2000. – 416 с.
2. Шипачев, В. С. Высшая математика : Учеб. Для студентов вузов / В. С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2005. – 479 с.
3. Баврин, математика : Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений / И. И. Баврин. – М.: Академия, 2008. – 611 с.
4. Шипачев, В. С. Задачи по высшей математике : Учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. – М. : Высш. шк., 1997. – 304 с.
5. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа : учеб. Пособие / . – СПб.: Профессия, 2006. – 432 с.
6. Мордкович, А. Г. Задачник по введению в математический анализ
/ А. Г. Мордкович, М. В. Шуркова. – М. : Мнемозина, 2008. – 136 с.
7. Кудрявцев задач по математическому анализу : Функции нескольких переменных. СПб., 1994.
8. Виленкин, Н. Я. Дифференциальные уравнения : Учебное пособие / Н. Я. Виленкин, , . – М: Просвещение, 1984. – 175 с.
9. Семеняченко, анализ. Введение в анализ : Пособие для самостоятельной работы студентов педагогических вузов
/ Ю. А. Семеняченко. – М. : МГПУ, 2005. – 75 с.
Дополнительная литература:
1. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц // В 3 т. – М. : ФИЗМАТЛИТ, Лаборатория Знаний, 2003.
2. Никольский, математического анализа / С. М. Никольский. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. – 591 с.
3. Математический анализ. Интегральное исчисление / , , . – М.: Просвещение, 1988. – 191 с.
4. Данко, математика в упражнениях и задачах (в двух частях) / , , . – М.: ОНИКС 21 век : Мир и образование, 2007.
5. Мордкович, А. Г. Наибольшие и наименьшие значения величин. Модуль действительного числа / А. Г. Мордкович. – М. : Школа-Пресс, 1995. – 144 с.
6. Райхмист, функций / . – М. : Школа-пресс, 1997. – 382 с.
