Наименование дисциплины: Анализ на многообразиях
Направление подготовки: 010200 Математика и компьютерные науки
Профильная направленность: Математика и компьютерные науки
Квалификация (степень) выпускника: магистр
Форма обучения: очная
Автор: д-р физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры алгебры и математической логики .
1. Целями освоения дисциплины "Анализ на многообразиях" являются:
1) фундаментальная подготовка в некоторых областях математического анализа, которые не вошли в классический курс:
а) внешние дифференциальные формы;
б) понятие гладкого многообразия как обобщения кривой и поверхности;
в) современная формула Стокса;
2) овладение современными результатами по связи интегрирования с дифференцированием;
3) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.
2. Дисциплина "Анализ на многообразиях" входит в цикл профессиональных дисциплин. Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, алгебра, линейная алгебра и геометрия, аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, топология.
3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
основные понятия теории анализа на многообразии, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений;
Уметь:
решать задачи вычислительного и теоретического характера в области анализа на многообразиях;
Владеть:
математическим аппаратом анализа на многообразиях, методами решения задач и доказательства утверждений в этой области.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 часа.
5. Содержание дисциплины:
№ п/п | Раздел дисциплины |
1 | Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких действительных переменных (повторение): дифференциал функции, внешние дифференциальные формы, кратный интеграл по ориентированной области, современная формула Стокса-Пуанкаре, теоремы об обратном отображении и о неявной функции. |
2 | Касательное пространство к многообразию. Первая квадратичная форма на многообразии. Мера Жордана на многообразии. |
3 | Дифференциал гладкой функции на многообразии. Внешние дифференциальные формы на многообразии. Внешний дифференциал. |
4 | Ориентация векторного и аффинного пространств. Задание ориентации с помощью внешней формы старшей степени. Каноническая ориентация симплекса и индуцированная ориентация его границы. |
5 | Криволинейный симплекс на многообразии. Определение компактного множества с кусочно-гладкой границей на многообразии, способы задания на нем ориентации. |
6 | Доказательство формулы Стокса-Пуанкаре для симплекса в аффинном пространстве. |
7 | Доказательство формулы Стокса-Пуанкаре для ориентированного компактного тела с кусочно-гладкой границей на многообразии. Частные случаи формулы Стокса-Пуанкаре. |
8 | Внешняя дифференциальная форма ориентированного объема на многообразии. Интегралы первого типа на многообразие. |
9 | Топологические многообразия (повторение): топология на множестве, непрерывные отображения топологических пространств, гомеоморфизм, определение и примеры топологических многообразий. |
10 | Абстрактные гладкие многообразия: карты, атласы, гладкая структура, гладкие функции, гладкие отображения, диффеоморфизм, теорема Уитни (без доказательства), примеры. |
11 | Касательное расслоение к абстрактному гладкому многообразию: касательный вектор как дифференцирование, функции перехода, топология и атлас на пространстве касательного расслоения. |
12 | Дифференциал функции, внешние дифференциальные формы на абстрактном гладком многообразии, формула Стокса-Пуанкаре. |
13 | Векторные расслоения на абстрактном гладком многообразии: определение и примеры, алгебраические операции над векторными пространствами и векторными расслоениями. |
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература:
1. и др. Введение в топологию. М.: Высшая школа, 1980.
2. . Современная дифференциальная геометрия. Ярославль, 2000.
3. . Математический анализ на многообразиях. Электронная рукопись.
б) дополнительная литература:
1. . Геометрические методы в теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск, 2000.
2. , , .
Лекции по математическому анализу. М.:Высшая школа, 1999.
3. Т. Брекер, Л. Ландер. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.:Мир, 1977.
4. и др. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
5. М. Касивара, П. Шапира. Пучки на многообразиях. М.: Мир, 1997.
6. , .} Линейная алгебра и геометрия. М.:МГУ, 1980.
7. Дж. Милнор, А. Уоллес. Дифференциальная топология. М.:Мир, 1972.
8. Р. Нарасимхан. Анализ на действительных и комплексных
9. многообразиях. М.:Мир, 1971.
10. М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. М.:Мир, 1968.
11. Дж. Шварц. Дифференциальная геометрия и топология. М.:Мир, 1970.
12. . Дифференциальная геометрия и топология. Ижевск, 1999.
