Необходимо перерешать данное задание, преподаватель забраковал это задание указав что «Вы неправильно просчитали параметр Е (обобщенную ошибку) для обеих функций»
Условие
Задание 3
Условие и данные для расчёта:
Задача на решение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) одним из методов: 1-я улучшенная формула Эйлера, 2-я улучшенная формула Эйлера или метод Рунге-Кутта или МНК
Задана функция в виде таблицы. С помощью метода наименьших квадратов выбрать наилучшую функцию из рекомендуемых.
Рекомендуемые функции –линейная квадратичная
Таблица 16
X | Y |
1,0 | 1,503 |
1,1 | 1,290 |
1,2 | 1,112 |
1,3 | 0,971 |
1,4 | 0,849 |
1,5 | 0,736 |
1,6 | 0,637 |
1,7 | 0,557 |
1,8 | 0,473 |
1,9 | 0,418 |
Решение.
а) Будем искать приближение в виде
,
где 
и 
‑ пока неизвестные константы. Для их отыскания составим систему, подставив данные значения 
и 
в функцию. Получим
Для решения полученной системы методом наименьших квадратов, умножим слева обе части системы на транспонированную матрицу системы. Получим систему с квадратной матрицей
Решая полученную систему, найдем значения коэффициентов:
, 
.
Таким образом, линейная функция окончательно запишется в виде
.
б) Будем искать приближение в виде
,
где , и 
‑ пока неизвестные константы. Для их отыскания составим систему, подставив данные значения и в функцию. Получим
Для решения полученной системы методом наименьших квадратов, умножим слева обе части системы на транспонированную матрицу системы. Получим систему с квадратной матрицей
Решая полученную систему, найдем значения коэффициентов:
, 
, 
.
Таким образом, квадратичная функция окончательно запишется в виде
.
Рассчитаем среднее квадратичное отклонение для каждой аппроксимирующей функции.
X | Y | y1=a*x+b | Y-y1 | (Y-y1)^2 | y2=a*x^2+b*x+c | Y-y2 | (Y-y2)^2 |
1 | 1,503 | 1,383 | 0,12 | 0,0144 | 1,4838 | 0,0192 | 0,000369 |
1,1 | 1,29 | 1,26558 | 0,02442 | 0,000596 | 1,299135 | -0,00913 | 8,34E-05 |
1,2 | 1,112 | 1,14816 | -0,03616 | 0,001308 | 1,13128 | -0,01928 | 0,000372 |
1,3 | 0,971 | 1,03074 | -0,05974 | 0,003569 | 0,980235 | -0,00923 | 8,53E-05 |
1,4 | 0,849 | 0,91332 | -0,06432 | 0,004137 | 0,846 | 0,003 | 9E-06 |
1,5 | 0,736 | 0,7959 | -0,0599 | 0,003588 | 0,728575 | 0,007425 | 5,51E-05 |
1,6 | 0,637 | 0,67848 | -0,04148 | 0,001721 | 0,62796 | 0,00904 | 8,17E-05 |
1,7 | 0,557 | 0,56106 | -0,00406 | 1,65E-05 | 0,544155 | 0,012845 | 0,000165 |
1,8 | 0,473 | 0,44364 | 0,02936 | 0,000862 | 0,47716 | -0,00416 | 1,73E-05 |
1,9 | 0,418 | 0,32622 | 0,09178 | 0,008424 | 0,426975 | -0,00898 | 8,06E-05 |
СКО: | 0,03862 | СКО: | 0,001318 |
Из таблицы следует, что квадратичная функция дает лучшее приближение, чем линейная.
