Тема: Последовательности

Автор: Учитель математики средней школы № 000 .

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Класс: 9.

Продолжительность урока: один академический час.

Оборудование и материалы к уроку: презентация, карточки, проектор.

Цели урока:

- Знакомство учащихся с новыми понятиями.

- Формирование умений анализировать, сравнивать, обобщать и систематизировать.

- Применение полученных знаний.

План урока:

q Повторение.

q Постановка проблемы. Задача о заключении трудового договора.

q Введение новых определений: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии.

q Тренировочная работа.

q Подведение итогов урока.

q Домашнее задание.

Ход урока:

I этап

Вспомним пройденный материал:

Что вы знаете о функциях?

( Понятие функции. Способы задания функции. Свойства функции).


Попробуем систематизировать имеющиеся у вас знания о функциях, заполнив пустые области в следующей графической форме.

II этап

Главная цель нашего урока: познакомиться с новым понятием – последовательность.

Прозвучало слово – последовательность, – какие ассоциации, образы возникают у вас?

Встречаемся ли мы в жизни с этим понятием?

(Пример: дома на улице; книги в библиотеке.)

Рассмотрим задачу:

Между работником и работодателем должен быть заключен трудовой договор. Предлагаются три варианта оплаты труда:

(1) работнику в первый день работы выплачивается 4 р., во второй – 5 р., в третий – 6 р. и т. д.;

(2) по второму варианту работник получает в первый день работы 2 р., во второй – 4 р., в третий – 6 р., в четвертый – 8 р. и т. д.;

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(3) по третьему варианту работодатель выплачивает в первый день 2 к., а в каждый следующий день удваивает оплату за предыдущий день (т. е. во второй день – 4 к., в третий – 8 к., в четвертый – 16 к. и т. д.).

На какие условия выгодно согласиться работнику, а на какие – работодателю?

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы составим и заполним следующую «таблицу соответствий»:

дни

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

(1)

руб.

a

4

5

8

12

S

4

9

22

85

130

(2)

руб.

a

2

4

12

22

S

2

6

30

(3)

коп.

a

2

4

64

1024

S

2

6

1022

16382

Проанализируем полученное решение.

Итак, в процессе решения задачи о трудовом договоре Вы установили, что при заключении договора

на срок не более 5-ти дней работнику выгоднее вариант оплаты (1), работодателю – вариант (3);

на срок не менее 5-ти дней и не более 12-ти дней работнику выгоднее вариант оплаты (2), работодателю – вариант (3), в случае заключения договора на 13 дней работы рабочему по-прежнему выгоднее условие оплаты (2), а работодателю – условие (1);

на срок не менее 14-ти дней работнику выгоднее вариант оплаты (3), работодателю – вариант (1).

III этап

Как оказалось, полученные в процессе решения задачи о трудовом договоре результаты не дают возможности быстро ответить на некоторые дополнительные вопросы.

Попытаемся задать условия оплаты (1)–(3) в общем виде, аналитически, т. е. в виде буквенных выражений, алгебраических формул. Поможет ли это нам ответить на поставленные вопросы?

Ответ:

(1) a(n) = n +3 (2) a(n) = 2n (3) a(n )= 2n

Мы получили зависимость между натуральными числами (порядковыми номерами проработанных работником дней) и действительными числами (ежедневно выплачиваемыми работнику денежными суммами по соответствующему варианту оплаты).

Каждому натуральному значению аргумента n по определенному правилу (варианту оплаты) ставится в соответствие единственное действительное число a(n).

Функциональные зависимости (1)–(3) от натурального аргумента можно записать в виде упорядоченных, пронумерованных, наборов чисел – рядов ежедневных денежных сумм а(n), последовательно выплачиваемых в зависимости от порядкового номера n проработанного работником дня.

В этом случае говорят, что числа образуют последовательность

а1, а2, а3, а4, а5, ..., аn, …,

которую можно рассматривать как функцию от натурального аргумента (т. е. функцию, определённую на множестве натуральных чисел).

Элементы, из которых составлена последовательность, называются ее членами. Каждый член последовательности пронумерован (при помощи нижнего индекса) и имеет, по крайней мере, один предыдущий член (за исключением первого члена а1 последовательности) и один последующий (за исключением последнего элемента в случае конечной последовательности).

Для описания последовательности используются обозначения

{аn} или (аn), где n = 1, 2, .... где

an есть элемент или член этой последовательности.

Многоточие в конце записи последовательности а1, а2, а3, а4, ... означает, что она является бесконечной (содержит бесконечно много членов).

Если рассматривается не вся последовательность, а лишь первые m членов,

а1, а2, а3, ..., аm,

или {аn}, где n = 1, 2, ..., m,

то говорят о конечной последовательности (длины m), содержащей m членов.

Вернемся еще раз к последовательностям, которые у нас получились при решении задачи. В чем их особенность? Как они получаются?

Приходим к новым понятиям.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен последующему, сложенному с одним и тем же числом \(d\). Это число называется разностью арифметической прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия задается рекуррентным равенством:

, где и соответственно n-й и n+1-й члены прогрессии. Для обозначения арифметической прогрессии используют запись:

\(\div a_1,a_2, a_3\ldots\)

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число . Это число называется знаменателем прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия задается рекуррентным равенством:

\(b_1=b,\ b_{n+1}=b_n\cdot q,\ n\in N,\ q\neq0,\ b\neq0\)

Для обозначения геометрической прогрессии используют запись:

\(\div\div b_1,b_2, b_3, \ldots\)

IV этап

1. Дана последовательность

1,4, 9, 16, 25, 36, … n2 , (n+1)2 ,…

а) назвать третий, шестой, n – й член последовательности.

б) указать номер члена последовательности, равного 4, 36, (n+1)2.

2. Даны последовательности

1) 6, 8, 10,…; 2) 8, 16, 32,…; 3) 1, 1, 1,…;

4) -50, 10, -2,… 5) 7, 9, 11,…; 6) 3, 5, 10, 13, 26,…;

7) -12, -9, -6,…; 8) 25, 21, 17….; 9) 4, 2, 1,….

Выберите среди них арифметическую и геометрическую прогрессии. Укажите разность и знаменатель.

3. Первый член последовательности равен 2.

а) запишите первые пять членов арифметической прогрессии, если ее разность равна 5.

б) запишите первые пять членов геометрической прогрессии, если ее разность равна 3.

V этап

Подведение итогов урока проводится через обсуждение новых терминов.

Ключевые слова:

– последовательность,

– член последовательности

– конечная последовательность,

– бесконечная последовательность,

– арифметическая прогрессия,

– разность арифметической прогрессии,

– геометрическая прогрессия,

– знаменатель геометрической прогрессии.

VI этап

1. Составить примеры :

А) последовательности;

Б) арифметической прогрессии;

В) геометрической прогрессии.

2. Нарисовать портреты последовательностей, с которыми познакомились на уроке.