ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №5
ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Вариант 1
1. Является ли линейным пространством множество всех радиус-векторов точек первой четверти прямоугольной декартовой системы координат?
2. Доказать, что множество A={(α1,0,α2,0)|α1,α2ÎR} составляет подпространство пространства A4. Найти его базис и размерность.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов a1=(5,2,‑3,1), a2=(4,1,‑2,3), a3=(1,1,‑1,‑2), a4=(3,4,‑1,2).
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
x1=(1,1,1,1),
x2=(1,1,‑1,‑1),
x3=(1,‑1,1,‑1);
y1=(1,‑1,‑1,1),
y2=(2,‑2,0,0),
y3=(3,‑1,1,1).
Вариант 2
1. Является ли линейным пространством множество всех радиус-векторов точек, образующих данную прямую. Найти его базис и размерность.
2. Доказать, что множество A={(α1,α,α2,α)|α,α1,α2ÎR} составляет подпространство пространства A4. Найти его базис и размерность.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов a1, a2, a3, a4, a5, где a1=1+2x+3x2–4x3, a2=2+3x–4x2+x3, a3=2–5x+8x2–3x3, a4=5+26x–9x2–12x3, a5=3–4x+x2+2x3.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
a1=(1,2,1),
a2=(1,1,‑1),
a3=(1,3,‑3);
y1=(2,3,‑1),
y2=(1,2,2),
y3=(1,1,‑3).
Вариант 3
1. Является ли линейным пространством множество всех векторов плоскости за исключением векторов, параллельных данной прямой.
2. Доказать, что множество A={f(x)=a0+a1x+…+anxn, a0,…,anÎR, f(0)=0} составляет подпространство пространства Pn. Найти его базис и размерность.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов
, 
, 
, 
, 
.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
x1=(0,1,1,1),
x2=(1,1,1,2),
x3=(‑2,0,1,1);
y1=(‑1,3,2,‑1),
y2=(1,1,0,‑1),
y3=(‑1,7,4,‑3).
Вариант 4
1. Составляет ли линейное пространство множество многочленов A={f(x)=a0+a1x+…+anxn|a0,…,anÎR}? Найти его размерность и базис.
2. Доказать, что множество A={(α,α1,α2,α3,α) | α,α1,α2,α3ÎR} составляет подпространство пространства A5. Найти его базис и размерность.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов a1=e1+2e2+3e3+4e4, a2=2e1+3e2+4e3+5e4, a3=3e1+4e2+5e3+6e4, a4=4e1+5e2+6e3+7e4; e1, e2, e3, e4 – базис линейного пространства L.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
a1=(1,1,0,0),
a2=(1,1,2,2),
a3=(3,1,3,1);
y1=(2,2,2,2),
y2=(2,0,1,‑1),
y3=(3,1,2,0).
Вариант 5
1. Образует ли линейное пространство множество многочленов A={a0xn+a1xn+1+…+akxn+k | nÎN, a0,…,akÎR, k=0,1,2,…}? Указать его базис и размерность.
2. Доказать, что множество всех решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными образует подпространство пространства An. Найти его базис и размерность.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов
a1=2–x+3x2–2x3+4x4, a2=7x4+x3+5x2–2x+4, a3=2+x2‑x+8x3+2x4.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
x1=(2,‑1,0,0,3),
x2=(4,‑2,0,0,6),
x3=(0,1,1,0,2);
y1=(2,1,1,‑1,1),
y2=(1,0,1,0,1),
y3=(1,1,0,‑1,0).
Вариант 6
1. Во множестве S={(α1,α2,…)|αiÎN, i=1,2,3,…} введены операции сложения x+y=(α1,…)+(β1,…)=(α1+β1,…) и умножения на действительное число k: kx=k(α1,α2,…)=(kα1, kα2,…). Является ли S линейным пространством, если αiÎR, i=1,2,3,…? Указать его базис и размерность.
2. Образует ли подпространство пространства V2 множество радиус-векторов точек некоторой прямой? Указать его базис и размерность
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов
, 
, 
,
.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
a1=(1,2,0,1),
a2=(1,1,1,0),
a3=(3,5,1,2);
b1=(1,0,1,0),
b2=(1,3,0,1),
b3=(3,6,1,2).
Вариант 7
1. Образуют ли линейное пространство множество матриц 
? Указать его базис и размерность.
2. Составляет ли подпространство пространства P5 множество A={a0+a2x2+a4x4 |a0,a2,a4ÎR}? Указать его базис и размерность
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов a1=x5+x4+x+1, a2= –1, a3=2x2+5x, a4=2x3–2.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
x1=(1,‑1,‑1,1),
x2=(0,2,2,0),
x3=(0,3,2,‑1);
y1=(0,1,2,‑1),
y2=(1,‑1,1,1),
y3=(2,‑1,4,1).
Вариант 8
1. Является ли множество матриц 
линейным пространством? Найти его базис и размерность.
2. Доказать, что множество 6-мерных векторов A={(α, β, α, β, α, β)| α,βÎR} составляет подпространство пространства A6. Найти его базис и размерность
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов
a1, a2, a3, a4, где a1=e1+e2+e3+e4, a2=–e5–e4–e3+e2+e1, a3=2e1+2e2–e5, a4=2e5+5e4+5e3+e2+e1, a5=–e3–e2+e1; e1,…,e5 – базис линейного пространства.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
a1=(1,‑2,1),
a2=(0,‑3,3),
a3=(2,‑7,5),
a4=(1,‑3,2);
b1=(1,0,0),
b2=(2,2,0),
b3=(0,0,3),
b4=(4,4,3).
Вариант 9
1. Составляет ли линейное пространство множество двумерных векторов A2={(α,β)|α,βÎR} с операциями сложения x+y=(α,β)+(γ,δ)=(α+γ,β+δ) и умножения на действительное число k kx=k(α,β)=(kα,kβ)? Найти его базис и размерность.
2. Доказать, что множество матриц 
составляет подпространство пространства M3. Найти его базис и размерность.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов
a1=3–x+3x2+2x3+5x4, a2=5–3x+2x2+3x3+4x4, a3=1–3x–5x2–7x4, a4=x4+4x3+x2–5x+7.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
x1=(1,‑1,‑1,1),
x2=(0,2,2,0),
x3=(0,3,2,‑1);
y1=(0,1,2,‑1),
y2=(1,‑1,1,1),
y3=(2,‑1,4,1).
Вариант 10
1. Доказать, что множество 
образует линейное пространство. Найти его базис и размерность.
2. Образует ли подпространство пространства An множество A={(x1,…,xn)|xiÎR, x1+…+xn=0}? Найти его базис и размерность.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов
a1=(4,3,‑5,2,3), a2=(8,6,‑7,4,2), a3=(4,3,‑8,2,7), a4=(4,3,1,2,‑5).
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
a1=(1,1,1,1),
a2=(1,‑1,1,‑1),
a3=(1,3,1,3);
b1=(1,2,0,2),
b2=(1,2,1,2),
b3=(3,1,3,1).
Вариант 11
1. Составляет ли линейное пространство множество векторов
a). A={(x1,…,xn) | xi – четные числа, i=1,2,…,n},
б). B={(x1,…,xn) | xi – нечетные числа, i=1,2,…,n}?
2. Составляет ли множество многочленов A={f(x)=a0+a1x+…+anxn, aiÎR, i=1,2,…,n, a0+…an=0} подпространство пространства Pn? Найти его базис и размерность.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов
a1=e1–e2+e3, a2=e1+e2+e4, a3=2e1+e3+e4; e1, e2, e3, e4 – базис линейного пространства L.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
a1=(1,1,0,0),
a2=(0,1,1,0),
a3=(0,0,1,1);
b1=(1,0,1,0),
b2=(0,2,1,1),
b3=(1,2,1,2).
Вариант 12
1. Составляет ли линейное пространство множество матриц 
? Найти его базис и размерность.
2. Доказать, что множество 
составляет подпространство пространства An. Найти его базис и размерность.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов a1=x+2x2+3x3–2x4+x5, a2=3x5‑4x4+5x3+6x2+3x, a3=x2+x–4x4+7x3+x5, a4=2x+4x2–2x3–3x4+3x5.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
х1=(1,2,1,‑2),
х2=(2,3,1,0),
х3=(1,2,2,‑3);
у1=(1,1,1,1),
у2=(1,0,1,‑1),
у3=(1,3,0,4).
Вариант 13
1. Составляет ли множество многочленов A={f(x)=a1x+a3x3+a5x5| a1,a3,a5ÎR} линейное пространство? Найти его базис и размерность.
2. Составляет ли множество матриц 
подпространство пространства M2? Найти его базис и размерность.
3. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов
a1=1–x+x2–x3+x4, a2=7x4–x3+x2+x+3, a3=1+x+3x4, a4=2x4+x3–x2+2x.
4. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы
a1=(2,‑5,3,4),
a2=(1,2,0,7),
a3=(3,‑6,2,5);
b1=(2,0,4,6),
b2=(1,1,1,1),
b3=(3,3,1,5).
