Глава 2. Буквенные выражения.
Тема №3. «Многочлены. Преобразование выражений»
Основные сведения
Одночленом называют выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения. Одночлен называется представленным в стандартном виде, если он записан в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.
Числовой множитель у одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена, сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена.
Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов. Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду и нет подобных слагаемых, то говорят, что это многочлен стандартного вида.
Формулы преобразования многочленов.
Для любых а, b и с верны следующие равенства:
l. a2-b2 = (a - b)(a + b);
2. (а + b)2 = а2 + 2аb + b2;
3. (а - b)2 = а2 - 2аb + b2;
4. (а + b)3 = а3 + 3a2b + 3аb2 + b3;
5. (а - b)3 = а3 - 3а2b + 3аb2 - b3;
6. a3 + b3 = (а + b){а2 - ab + b2);
7. a3- b3 = (a - b){a2 + ab + b2);
8. ах2 + bx + c = a(x — x1)(x - x2), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 +bx + с = 0.
Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.
Демонстрационный вариант
1. Какое из приведённых ниже выражений тождественно равно произведению
(х - 4)(1- у)?
х)(у - 1) 2) -(х - 4)(1 - у)
3) -(x - 4)(у - 1) 4) (4 - у)(х - 1)
Решение. Рассмотрим каждое из предложенных выражений.
1) -(4 - х)(у - 1) = -(-(x - 4))(-(1 - у)) = -(х - 4)(1 - у) не равно тождественно (х - 4)(1 - у).
2) -(х - 4)(1 - у) не равно тождественно (х — 4)(1 - у).
3) -(х - 4)(у-1) = -(х - 4)(-(1- у)) = (х - 4)(1- у) тождественно равно (х - 4)(1 - у).
4) (4 - у)(х — 1) = 4х - ух + 4х - 4 не равно тождественно (х - 4)(1 - у) = х - ху + 4у - 4.
Ответ: 3.
2. Упростите выражениеа)2 + 8а(3 - 2а).
а - 32а2а2а
Решение.
(3-4а)2+8а(3-2а) = 32-2*3*4а+(4а)2+3*8а - 2а*8а = 9 - 24а + 16а2 + 24а - 16а2 = 9.
Ответ: 1.
3. Найдите числовое значение многочлена 3х2 — 7ху -1- 4у2 при х = 2, y = -1.
0 4) -2
Решение. 3х2 — 7ху + 4у2 = (3х2 - 3ху) - (4ху - 4у2) = = 3х(х - у) - 4у(х - у) = (х - у)(3х - 4у).
Подставляя в полученное выражение значения х = 2, у = —1, получим• 2 - 4 •
(-1)) = 3 • (6 + 4) = 3 • 10 = 30.
Ответ: 3.
4. Приведите выражение у{у -у)2 к многочлену стандартного вида.
1) 5у2 + 3у у2 - 21у у2 + 3у у - 9
Решение. у(у -у)2 = у2 - 9у -у + 4у2) = = у2 - 9у - 9 + 12у - 4у2 = -3у2 + 3у - 9. Ответ: 3.
5. Упростите выражение А - В, если А = (х - 2у)(х + 2y);
В = х2 - 4ху + 5у2.
1) 9у2 + 4ху 2) 2х2 - 9у2 + 4ху 3) -5у2 4) 4ху - 9у2 Решение. По формуле сокращённого умножения А = (х - 2у)(х + 2у) = х2 - 4у2.
Следовательно, А - В = х2 - 4у2 - (х2 - 4ху + 5у2) = = х2 - 4у2 - х2 + 4ху - 5у2 = 4ху - 9у2. Ответ: 4.
6. Выполните умножение многочленов: (а + 2)(а2 - 2а + 4).
1)а3 +а3+ 8 3) а3 + 2а2 + 8 4) а3 - 8
Решение. По формуле сокращённого умножения а3 + b3 = (а + b) (а2 - аb + b2) заданное выражение (а + 2)(а2 - 2а + 4) = а3 + 23 = а3 + 8.
Ответ: 2.
7. Разложите многочлен 5х2 - 5у2 - ax + ay на линейные множители.
а)(х - у) 2)(x2 - у2)(5 - а)
3) (х + у)(5x - 5у - а) 4) (x - у)(5х + 5y - а)
Решение. 5х2 - 5у2 - ах + ау = 5(х2 - у2) - а(х — у) = 5(х-у)(х+у)-а(х-у) = (х-у)(5(х+у)-а) = (x-у)(5х+5у-а).
Ответ: 4.
8. Соотнесите каждое выражение
A} 
Б) 
В}
с тождественно равным ему выражением:
Решение. Преобразуем каждое из заданных выражений.
A) 
. Это выражение тождественно равно выражению 1).
Б) 
. Это выражение тождественно равно выражению 3).
B) 
. Это выражение тождественно равно выражению 4).
А | Б | В |
1 | 3 | 4 |
Ответ:
Попробуй решить сам!
1. Какое из приведённых ниже выражений тождественно равно произведению (4 - х)(х - 1)?
1) (х - 4)(1 - х) 2) -(х - 4)(1 - х)
x)(1- х) 4) (х - 4)(x - 1)
2. Упростите выражение x2 х + 1)(х - 4).
1) 3х-8 2) 3х 3) 2х2 + 3х 4) 2х2 - 8
3. Найдите числовое значение многочлена 4а2 - 12аb + 9b2 при а = 1,25; b= -2,5.
,25,5
4. Пусть а = 5х2 + 3ху - 1, b = 2х2 + 10, с = х(у - х). Составьте выражение 2а – 3b + с и приведите его к стандартному виду.
1) 3х2 + 7ху -х2 - 8ху - 30
3) 6х2 + 4ху + 9 4) 7х2 + 3ху + 9
5. Выполните умножение многочленов 3(7а2b - a3)(ab2 - b3) и полученное выражение приведите к стандартному виду.
1) 24а3b3 - 24а4b2а4b2 - 21а2b4
3) 24а3b3 - 3а4b2 - 21а2b4 4) За9b9
6. Разложите многочлен t - 8)2 на линейные множители.
1) (3 - t)(3 - t) 2) (11 - t)(t - 8)
3) (57 - t)(57 - t)t) (3 + t)
7. Замените буквы А, Б и В одночленами так, чтобы выполнялось равенство (5х3 - А)2 = Б - 30х3у2 + В.
1) А = 30у2; Б = 5х2; В = 30у2
2) А = 6у2; Б = 25х3; В = 36у4
3) А = -3у; Б = 25х5; В = 9у2
4) А = 3у2;Б = 25х6;В = 9у4
8. Соотнесите, какой из многочленов
А) 4х2 + 5у2; Б) 4х2 - у2; В) (х + у)(4х - у) в сумме с многочленом (х — у)2 даёт многочлен
1) 5х2 + 6у2 - 2ху 2) 5х2 + ху
3) 5х2 - 2ху 4) 5х2 + 4у2
А | Б | В |
Ответ:
