ГОУ ДОД «ПОИСК»
ёв
Динамика
Лабораторная работа № 9.7
ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Инструкция
к выполнению измерений и исследований.
Бланк отчета
Заполняется простым карандашом.
Максимально аккуратно и разборчиво.
Работу выполнил
.....................................................
«……» …………….20..….г.
Работу проверил
.....................................................
Оценка
...............%
«……» …………….20..….г.
Ставрополь 2011
Цель работы:
Углубить представления по теории гармонических колебаний. Освоить методику экспериментальных наблюдений и проверить законы незатухающих гармонических колебаний на примере математического и физического маятника.
Оборудование: стенд для наблюдения колебаний различных маятников, секундомер, линейка.
1. Теоретическая часть
Механические колебания – это вид движения, когда координаты, скорости и ускорения тела многократно повторяются.
Свободными называются колебания, происходящие под действием внутренних сил системы тел. Если при выведении системы из положения равновесия возникает сила, направленная к положению равновесия и пропорциональная смещению, то в такой системе возникают гармонические колебания. Здесь координаты, скорости и ускорения происходят по закону косинуса (синуса)
x=Acos(w0t+a0); v=–v0sin(w0t+a0); a=a0 Acos(w0t+a0) (1)
где А – амплитуда, w0 – циклическая частота, a0 – начальная фаза колебаний. Циклическая частота связана с периодом колебаний Т
(2)
Свободные колебания являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения, либо оно пренебрежительно мало.
Системы тел, в которых возникают свободные колебания, часто называют маятниками.
Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси О, не проходящей через центр масс С тела (рис. 1).
При выведении маятника из положения равновесия на некоторый угол j, составляющая Fn силы тяжести mg уравновешивается силой реакции N оси О, а составляющая Ft стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела.
При этом
Ft =–mgsinj (3)
Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила Ft имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника (5-6°) sinj »j (j в радианах) и Ft » - mgj, т. е. возвращающая сила пропорциональна углу отклонения и направлена к положению равновесия, что и требуется для получения гармонических колебаний.
Маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, которое описывается основным уравнение динамики вращательного движения
М = Je , (4)
где М – момент силы Ft относительно оси О, J – момент инерции маятника относительно той же оси, ε - угловое ускорение маятника.
Момент силы в Ft относительно оси О равен:
M = Ft×l = - mgj×l , (5)
где l – плечо силы Ft - кратчайшее расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.
Из уравнений (4) и (5) , составленных в дифференциальной форме, получается решение в виде
j =jm×cos(w0t+j0) , (6)
где . (7)
из этого решения следует, что при малых амплитудах колебания (j<5-6°) физический маятник совершает гармонические колебания с угловой амплитудой колебаний jm, циклической частотой и периодом Т
. (8)
Анализ формулы (8) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний физического маятника (при малой амплитуде и в отсутствие сил трения):
· Период колебаний физического маятника при малых смещениях не зависит от амплитуды колебаний.
· Период колебаний физического маятника зависит от момента инерции маятника относительно оси вращения (качания).
· Период колебаний физического маятника зависит от положения центра масс маятника относительно точки подвеса.
Простейший физический маятник – массивный груз на подвесе, находящийся в поле силы тяжести. Если подвес нерастяжим, размеры 
груза пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса и масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, то груз можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса О. Такая идеализированная модель маятника называется математическим маятником (рис. 2).
Колебания такого маятника происходят по гармоническому закону (6). Так как момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через точку О, равен J=ml2, то период колебаний математического маятника равен
. (9)
Анализ формулы (9) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний математического маятника (при малой амплитуде и в отсутствие сил трения):
· Период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника (что было проверено при выполнении предыдущей серии лабораторных работ).
· Период колебаний математического маятника при малых углах колебаний не зависит от амплитуды колебаний (что также было проверено ранее).
· Период колебаний математического маятника прямо пропорционален корню квадратному из его длины.
2. Экспериментальная часть
Задание 1. Изучение колебаний физического маятника
Цель. Проверить правильность зависимости (8) периода колебаний физического маятника от его характеристик. Для этого необходимо построить соответствующие экспериментальные графики.
Используемый в данной работе физический маятник представляет собой прямой однородный стержень. Расстояние от центра тяжести стержня, т. е. его середины, до точки подвеса можно изменять. Момент инерции стержня относительно оси вращения (качания) 
, а период его колебаний относительной той же оси равен:
(10)
где d – длина стержня, l – расстояние от центра тяжести (центра стержня) до оси качания.
График зависимости T=f(l) представляет собой кривую сложной формы. Для дальнейшей обработки его следует линеаризировать. Для этого преобразуем формулу (10) к виду
(11)
Отсюда видно, что если построить график зависимости (T2l) = f(l2), то должна получится прямая линия y=kx+b, угловой коэффициент которой равен 
, а величина отрезка, отсекаемого графиком от оси ОY, равна 
.
1. Укрепите подвес в крайнем положении. Измерьте расстояние l от центра тяжести до оси
2. Измерьте период колебаний Т маятника. Для этого его необходимо отклонить на небольшой угол и измерить время 10-15 полных колебаний.
4. Последовательно уменьшая расстояние l, измерьте периоды колебаний маятника в каждом из этих положений.
5. Следует построить два графика. Первый график зависимости T=f(l) отображает сложную нелинейную зависимость периода колебаний физического маятника от расстояния до оси качания[1]. Второй график – линеаризация той же зависимости. Если точки на втором графике ложатся на прямую с небольшим разбросом (что можно объяснить погрешностями измерений), то можно сделать вывод о правильности общей формулы (8) и, в данном случае, формулы (10) для периода колебаний физического маятника.
6. С помощью полученного графика зависимости (T2l) = f(l2), определите ускорение свободного падения и длину стержня, используемого в опыте. Для этого следует сначала определить угловой коэффициент наклона прямой и величину отрезка b отсекаемого прямой от вертикальной оси (рис. 3). Тогда
(12)
При вычислении длины стержня используйте экспериментально полученное значение ускорения свободного падения.
В выводе сравните полученные величины g и d с их действительными значениями.
Отчет
Таблица 1
№ п/п | l, м | N | t, c | T, c | l2,м2 | T2l, c2×м |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
T , с l, м
График зависимости T = f(l).
l2, м2 T2l , с2м
График зависимости T2l =f(l2)
Результаты опыта: ……………………………………………………….
………………………………………………………………………………
Выводы: …………………………………………………………………………….
……..………………………………………………………………………………..
………… с2 /м b= …………с2×м
……… м/с2 
………м
Вывод: ……………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Задание 2. Изучение колебаний математического маятника
1. Подвесьте на нити свинцовый шарик, который лучше всего имитирует материальную точку. Длину подвеса изменяйте с шагом приблизительно 10 см так, чтобы получить 5-6 экспериментальных точек. Число колебаний в каждом опыте не менее. Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5-6°.
2. Зависимость Т=f(l) нелинейная. Поэтому для удобства экспериментальной проверки эту зависимость следует линеаризировать. Для этого постройте график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника Т2=f(l). Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом (что можно объяснить погрешностями измерений), то можно сделать вывод о выполнении формулы (9). Если разброс велик, то следует повторить всю серию измерений.
3. С помощью полученного графика определите ускорение свободного падения. Предварительно следует получить точное уравнение экспериментальной прямой: y=kx+ b. Для этого примените метод наименьших квадратов (МНК) (таблица 3) и определите угловой коэффициент прямой k. Исходя из полученного значения углового коэффициента, вычислите ускорение свободного падения.
k=DT2/Dl = 4p2/g , откуда g=4p2/k. (13)
Отчет
Первоначальное отклонение j =................
Таблица 2
№ п/п | l, м | N | t, c | T, c | T2, c2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
l, м T2, с2
График зависимости T2 = f(l)
МНК Таблица 3
Обозначения: l = x, T2 = y
№ п/п | xi | (xi-<x>) | (xi-<x>)2 | yi | (yi-<y>) | (yi-<y>)2 | (xi-<x>)(yi-<y>) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
<x>= | S = | S = | <y>= | S = | S = | S = |
Коэффициенты: 
………
………
 |
Уравнение прямой: T2 =………l + .........
Вычисление коэффициента линейной корреляции и погрешностей измерений
............... 
………
………
= ………
………
k = ………±……… с2/м ; b=………±……… м
Результаты опыта и расчета: ……………………………………………... ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
........................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Вывод:……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Вычисление ускорения свободного падения
и погрешности его измерения
………м/с2; △g=………. м/с2
g = ………±……… м/с2, d = …… %
Вывод:……………………………………………………………………… …..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Дополнительные задания
1. График зависимости T2 = f(l) в третьем задании, скорее всего, не проходит через ноль. Чем это можно объяснить?
2. Почему для получения гармонических колебаний маятников необходимо выполнять требование j < 5-6°?
Ответы
ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.
Термины, законы, соотношения
(знать к зачёту)
1. Что такое колебания? гармонические колебания? периодические процессы?
2. Дайте определения амплитуды, периода, частоты, фазы, циклической частоты колебания.
3. Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени.
4. От чего зависит амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний?
5. Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии гармонических колебаний.
6. Как можно сравнить между собой массы тел, измеряя частоты колебаний при подвешивании этих тел к пружине?
7. Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математического маятника.
8. Что такое приведенная длина физического маятника?
[1] При построении этого графика вертикальную ось совсем не обязательно начинать с нуля. Лучше подобрать масштаб так, чтобы вертикальная ось начиналась с минимального значения периода колебаний маятника.
