АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (2 курс, 4-й семестр)

Программа курса лекций

Лектор проф.

НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ. РАССЕЯНИЕ

1. Одномерное движение в потенциальном поле. Период колебаний.

2. Движение в центральном поле.

3. Изотропный осциллятор.

4. Задача Кеплера. Дополнительный интеграл движения в задаче Кеплера.

5. Сечение рассеяния. Формула Резерфорда. Рассеяние под малыми углами.

ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА

6. Уравнения Лагранжа для нерелятивистской частицы в потенциальном поле. Обобщенные координаты и импульсы.

7. Функция Лагранжа для частицы в электромагнитном поле, для релятивистской частицы, для системы с идеальными голономными связями.

8. Принцип Гамильтона (принцип наименьшего действия). Ковариантность уравнений Лагранжа.

9. Циклические координаты. Энергия в лагранжевом подходе.

10. Теорема Нётер. Законы сохранения.

11. Теорема о вириале.

КОЛЕБАНИЯ

12. Линейные колебания. Нормальные координаты. Ортогональность нормальных колебаний. Случай вырождения частот.

13. Вынужденные колебания; резонансы.

14. Колебания систем, обладающих свойствами симметрии. Колебания молекул.

15. Колебания линейных цепочек. Стоячие и бегущие волны. Акустические и оптические колебания.

16. Нелинейные колебания. Ангармонические поправки.

17. Понятие о нелинейных резонансах. Параметрический резонанс.

ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА

18. Уравнения Гамильтона. Вариационный принцип для уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона.

19. Функция Гамильтона для частицы в электромагнитном поле.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

20. Вращающаяся система отсчета (функции Лагранжа и Гамильтона; уравнения движения; преобразования r, v, p, M и E при переходе во вращающуюся систему отсчета).

21. Канонические преобразования. Инвариантность скобок Пуассона относительно канонических преобразований. Необходимый и достаточный признак каноничности преобразований. Примеры канонических преобразований: поворот на фазовой плоскости; переменные a и a* для гармонического осциллятора.

22. Действие вдоль истинной траектории как функция начальных и конечных координат и времени

23. Сохранение фазового объема при канонических преобразованиях. Теорема Лиувилля.

24. Уравнение Гамильтона-Якоби.

25. Адиабатические инварианты.

ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА

26. Движение твердого тела. Момент импульса твердого тела. Кинетическая энергия твердого тела. Тензор моментов инерции.

27. Свободное движение симметрического волчка.

28. Углы Эйлера. Уравнения Эйлера.

Библиографический список:

[1] , Лифшиц . М.: Наука, 1988.

[2] Классическая механика. М.: Наука, 1975.

[3] , , Черных по аналитической механике. Новосибирск: РИЦ НГУ, 2007; Москва–Ижевск: РХД, 2010.

[4] , Cборник задач по классической механике. М.: Наука, 1977; Москва–Ижевск: РХД, 2010.

Программа семинарских занятий

1. Одномерное движение, центральное поле. (3,5 семинара)

Задачи: 1.1—1.3 из [3];

1.11а) из [4];

Вычислить Кеплеров эллипс и период движения на нем [1 § 12].

2.5, 2.8 из [4];

Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли. От него, с относительной скоростью v = 20 м/сек, в плоскости, перпендикулярной направлению движения, отделяется тело, масса которого пренебрежимо мала. Найти ориентацию орбиты тела и ее параметры для трех направлений отделения: вверх, вниз, перпендикулярно плоскости орбиты.

6.1—6.4 из [3];

Движение по гиперболе и формула Резерфорда из [1, § 19].

2. Уравнения Лагранжа, законы сохранения. (2,5 семинара)

2.1. Что такое qi и pi, зачем нужна L, циклические координаты.

Найти L, E, pi для системы.- см. 12.1 из [3]

2.2. Найти и изобразить траекторию для системы – см. 12.2 из [3]

Ответ: при M = 3m частота

Задача 4 из [1, § 5].

4.13а из [4]

Задача 3з) из [1, § 9].

Теорема Нётер и интеграл движения в поле диполя – см. § 14.3;

4.15а, б из [4].

3. Линейные колебания. (3,5 семинара)

Задачи: 6.1,

m<<M;

6.2а,

Найти нормальные колебания грузиков на первом и втором кольцах и сравнить предельные переходы M→m к третьему.

6.18, 6.31, 6.21, зад. 1 из [1, §24].

4. Линейные цепочки. Нелинейные колебания. Параметрический резонанс. (3 семинара)

Задачи: 7.2, 7.4а, §29.2 из [3], зад. 2 из [1, §27.

5. Уравнения Гамильтона, скобки Пуассона. (2 семинара)

Задачи: 10.3, 10.6а, 10.4, 10.7, гамильтониан в сферических координатах; §35.3 и задача 35.3 из [3], 10.14а, б, 10.17, 10.22.

6. Канонические преобразования. Теорема Лиувилля (2 семинара)

Задачи: 11.4, 11.16а, б, 11.17, 11.25а, б, §38.1 из [3], 11.24а–д,

7. Уравнение Гамильтона-Якоби. (2 семинара)

Задачи: 12.1, 12.2.

8. Движение твердого тела. (1 семинар)

Задачи: 9.1, 9.2б, 9.3, 9.4, 9.9, 9.8.

9. Адиабатические инварианты. (1 семинар)

Задачи: §43.2 из [3], 13.13, 13.8, 13.5.

Программу составил проф.