Вариант № 000

Вариант № 000

B1 На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. Сдачи клиент получил 1 руб. 60 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

Решение.
Поскольку сдача составляет 1 руб. 60 коп., на бензин потрачено 998 руб. 40 коп. Разделим 998,4 на 31,2, получим 32. Итак, в бак было залито 32 литра бензина.

Ответ: 32

B2 На рисунке жирными точками показана цена палладия, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена палладия в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой палладия за указанный период. Ответ дайте в рублях за грамм.

Решение.
Из графика видно, что наибольшая и наименьшая цены за указанный период составили 172 рубля и 144 рубля соответственно (см. рисунок). Их разность равняется 28 рублям.

Ответ: 28.

Ответ: 28

B3 Найдите длину отрезка, соединяющего точки O(0; 0) и A(6; 8).

Решение.
Длина отрезка определяется следующим выражением:

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

B4 Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

Фирма-производитель	Процент от выручки, поступающий в доход салона	Примечания
«Альфа»	6,5 %	Изделия ценой доруб.
«Альфа»	2,5 %	Изделия ценой свышеруб.
«Бета»	3 %	Все изделия
«Омикрон»	5 %	Все изделия

В прейскуранте приведены цены на четыре кресла-качалки. Определите, продажа какого кресла-качалки наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого кресла-качалки.

Фирма-производитель	Изделие	Цена
«Альфа»	Кресло-качалка «Ода»	16 500 руб.
«Альфа»	Кресло-качалка «Сага»	23 500 руб.
«Бета»	Кресло-качалка «Поэма»	20 500 руб.
«Омикрон»	Кресло-качалка «Элегия»	18 000 руб.

Решение.
Рассмотрим все варианты.

При продаже кресла-качалки «Ода» по ценеруб. доход салона составит0,065 = 1 072,5 руб.

При продаже кресла-качалки «Сага» по ценеруб. доход салона составит0,025 = 587,5 руб.

При продаже кресла-качалки «Поэма» по ценеруб. доход салона составит0,03 = 615 руб.

При продаже кресла-качалки «Элегия» по ценеруб. доход салона составит0,05 = 900 руб.

Поэтому для салона наиболее выгодна продажа кресла-качалки «Ода» фирмы «Бета», доход от которого составит 1072,5 рубля.

Ответ: 1072,5

B5

Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение.
Решим уравнение:

Значениям соответствуют большие положительные корни.
Если , то и .
Если , то и .
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Наименьшим положительным решением является 0,5.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

B6

Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.
Пусть искомый угол равен градусов. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Следовательно, , откуда .

Ответ: 36.

Ответ: 36

B7 Найдите значение выражения , если .

Решение.
В силу периодичности тангенса . Поэтому

.

Ответ: -28.

Ответ: -28

B7. Найдите значение выражения .

Решение.
Выполним преобразования:

Ответ: -16.

Ответ: -16

B7. Найдите значение выражения .

Решение.
Воспользуемся периодичностью синуса:

.

Ответ: 14.

Ответ: 14

B10 Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение.
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

Ответ: 0,0545.

Ответ: 0,0545

B12 Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной км с постоянным ускорением км/ч2, вычисляется по формуле . Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 5000 км/ч2. Ответ выразите в км/ч.

Решение.
Найдем, при какой скорости автомобиль приобретает ускорение 5000 км/ч2. Задача сводится к решению уравнения при заданном значении расстояния км:

.

Если скорость будет превосходить найденную, то ускорение автомобиля более 5000 км/ч2, поэтому минимальная необходимая скорость равна 100 км/ч.

Ответ: 100.

Ответ: 100

B13 По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй – длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение.
пока сухогрузы перейдут из первого положения во второе, второй сухогруз переместился относительно первого на

м.

Пусть – разность скоростей сухогрузов, тогда

м/мин км/ч

Ответ: 6.

Ответ: 6

C1 Решите уравнение .

Решение.

Решим уравнение :

откуда

.

Из найденных решений условию (*) удовлетворяют только и .
Ответ: .

Ответ: None

C1 а)Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.
а) Заметим, что Поэтому уравнение можно переписать в виде откуда Значит, либо откуда либо откуда

б) Отберем с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку


Ответ: а) б)

Ответ: None

C3. Решите систему неравенств

Решение.
Решим первое неравенство системы. Сделаем замену , тогда:

Вернемся к исходной переменной. Имеем:

Решим второе неравенство системы. Используя формулу , получаем:

Тем самым, решениями исходной системы неравенств являются

Ответ:

Ответ: None

C4 Угол треугольника равен , — отличная от точка пересечения окружностей, построенных на сторонах и как на диаметрах. Известно, что . Найдите угол .

Решение.
Точка лежит на окружности с диаметром , поэтому. Аналогично, . Следовательно, точка лежит на прямой .
Возможны два случая: точка лежит либо на отрезке (рис. 1), либо
на продолжении отрезка за точку (рис. 2). Точка не может лежать на продолжении отрезка за точку , так как угол — острый.

Положим , . Из прямоугольных треугольников и находим:

.

Рассмотрим первый случай. По теореме синусов , то есть , откуда .

Во втором случае , откуда .

Поскольку , получаем: , значит, — острый и равен или .

Ответ: .

Ответ: None