Задание № 1

Задание № 1.

Исследовать на сходимость числовой знакоположительный ряд:

Проверим выполнение необходимого признака сходимости:

.

Тогда ряд расходится.

Задание № 2.

Исследовать на сходимость числовой знакочередующийся ряд:

Исследуем на абсолютную сходимость: – ряд расходится как аналог гармонического ряда.

Исследуем на условную сходимость по признаку Лейбница:

Тогда данный знакочередующийся ряд сходится условно.

Задание № 3.

Найти область сходимости степенного ряда:

По формуле Коши-Адамара

Тогда ряд сходится на интервале

.

Исследуем сходимость на границе:

, получим числовой ряд — расходится.

, получим числовой ряд — сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Итак, данный ряд сходится при .

Задание № 4.

Вычислить двойной интеграл:

;

Задание № 5.

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

Проекция на плоскость хОу:

Задание 1.

Найти вероятность по формуле Байеса или формуле полной вероятности:

Вероятности попадания при каждом выстреле для 3 стрелков соответственно равны 4/5, 3/4 и 2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось 2 попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.

Решение:

Пусть событие А— при одновременном выстреле всех трех стрелков имелось 2 попадания. Введем гипотезы:  – промахнулся - тый стрелок. Известно, что , , .

По формуле Байеса

Задание 2.

Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что в результате 7 опытов событии А появилось не менее 2 раз.

Решение:

Искомая вероятность равна разности:

,

где по формуле Бернулли

, .

Тогда

Задание 3.

Определить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания в интервал (-7;4], если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей:

Х	-8	-3	0	1	5
Р	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

Построить график функции распределения.

Решение:

Задание 4.

Считая, что Х– нормально распределенная случайная величина с плотностью распределения , найти .

Решение:

Задание 1.

Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию.

x	10,3	10,5	10,7	10,9	11,1	11,3	11,5	11,7	11,9	12,1
m	4	7	8	10	25	15	12	10	4	5

Решение:

Объем выборки:

Выборочное среднее:

Выборочная дисперсия:

Исправленная выборочная дисперсия:

Задание 2:

x	10,3	10,5	10,7	10,9	11,1	11,3	11,5	11,7	11,9	12,1
m	4	7	8	10	25	15	12	10	4	5

А) Функция плотности распределения:

Б) Так как , то доверительный интервал:

Для надежности 0,95 . Тогда

Задание 3:

Найти выборочное уравнение регрессии и коэффициент корреляции:

у х	20	30	40	50	60	70	80
20	19	5
30	23	110	11
40	1	41	98	9
50		4	32	65	7
60		1	4	21	36	3
70			1	2	11	13	1
80					1	3	2

Решение:

у х	20	30	40	50	60	70	80
20	19	5						24	480	9600
30	23	110	11					144	4320	129600
40	1	41	98	9				149	5960	238400
50		4	32	65	7			108	5400	270000
60		1	4	21	36	3		65	3900	234000
70			1	2	11	13	1	28	1960	137200
80					1	3	2	6	480	38400
	43	161	146	97	55	19	3	524	22500	1057200
	860	4830	5840	4850	3300	1330	240	21250
	17200	144900	233600	242500	198000	93100	19200	948500

Найдем выборочные средние:

Выборочные дисперсии:

Тогда

.

Коэффициент корреляции:

.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид: