Задача

Задача 1.

Тонкий стержень длиной см несёт равномерно распределённый заряд мкКл/м. Определить напряжённость Е электрического поля, создаваемого распределённым зарядом в точке А, лежащей на оси стержня на расстоянии см от его конца.

Дано:

см = 0,2 м

мкКл/м Кл/м

см = 0,2 м

Решение.

А

а

Рассмотрим малый элемент стержня , расположенный на расстоянии х от конца стержня, ближайшего к точке А.

Элемент имеет заряд, равный:

.

Элемент расположен от точки А на расстоянии, равном:

.

Таким образом, элемент создаёт в точке А напряжённость , равную:

.

По принципу суперпозиции электрических полей, результирующая напряжённость в точке А равна векторной сумме напряжённостей , создаваемых всеми малыми участками стержня. Однако в данном случае векторную сумму можно заменить алгебраической, поскольку все вектора напряжённости имеют одинаковое направление.

Тогда напряжённость электрического поля, создаваемого распределённым зарядом в точке А, равна:

;

В/м.

Ответ: В/м.

Задача 2.

Два точечных заряда нКл и нКл находятся на расстоянии см друг от друга. Какую работу необходимо совершить внешним силам, чтобы уменьшить расстояние между зарядами вдвое?

Дано:

нКл Кл

нКл Кл

см м

Решение.

Сила отталкивания, с которой действуют друг на друга заряды:

.

Для того чтобы сблизить заряды на малое расстояние , необходимо совершить работу:

.

Тогда работа, которую необходимо совершить для того, чтобы уменьшить расстояние между зарядами вдвое (с до ), равна:

;

Дж.

Ответ: Дж.

Задача 3.

За время с, при равномерно возраставшей силе тока от нуля до некоторого максимума, в проводнике сопротивлением Ом выделилось количество теплоты кДж. Определить скорость нарастания силы тока.

Дано:

с

Ом

кДж Дж

Решение.

Зависимость силы тока от времени – линейная:

,

где − искомый коэффициент пропорциональности, А/с.

Рассмотрим малый промежуток времени . Можно считать, что в течение этого промежутка времени ток остаётся постоянным и равным . По закону Джоуля-Ленца, за это время в проводнике с сопротивлением R выделится количество теплоты:

.

Тогда за время в проводнике выделится количество теплоты:

.

Отсюда находим скорость нарастания силы тока:

;

;

А/с.

Ответ: А/с.

Задача 4.

В однородном магнитном поле ( Тл) равномерно с частотой вращается стержень длиной см так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям напряжённости, а ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую на концах стержня разность потенциалов U.

Дано:

Тл

см м

Решение.

За время стержень повернётся на угол:

.

Свободный конец стержня пройдёт путь:

.

Площадь, которую пересечёт стержень, равна:

.

Магнитный поток через эту площадку равен:

.

В стержне возникает ЭДС индукции:

.

А так как кроме сопротивления стержня других элементов нет, то разность потенциалов на концах стержня будет численно равна возникающей ЭДС индукции:

;

В.

Ответ: В.

Задача 5.

Соленоид сечением см содержит витков. При силе тока А магнитная индукция В поля внутри соленоида равна 0,05 Тл. Определить индуктивность L соленоида.

Дано:

см м

А

Тл

Решение.

Магнитный поток, пронизывающий контур площадью , равен:

.

Если N витков соленоида пронизываются магнитным потоком , то потокосцепление равно:

.

Индуктивность соленоида равна:

;

Гн.

Ответ: Гн.

Задача 6.

Частица движется со скоростью , где с – скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя составляет кинетическая энергия частицы?

Дано:

Решение.

Энергия покоящейся частицы равна:

.

Кинетическая энергия в релятивистской динамике равна:

.

Тогда:

.

Ответ: .

Задача 7.

Вычислить истинную температуру Т вольфрамовой раскаленной ленты, если радиационный пирометр показывает температуру кК. Принять, что поглощательная способность для вольфрама не зависит от частоты излучения и равна 0,35.

Дано:

кК

Решение.

Связь радиационной и истинной температур определяется формулой:

, где

– поглощательная способность тела.

Тогда истинная температура равна:

кК.

Ответ: кК.

Задача 8.

Красная граница фотоэффекта для цинка нм. Определить максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов в электрон-вольтах, если на цинк падает свет с длиной волны нм.

Дано:

нм м

нм м

Решение.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

.

Энергия фотона равна:

,

где Дж∙с – постоянная Планка;

м/с – скорость распространения света в вакууме.

Работа выхода электрона из металла равна:

.

Найдём максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов:

;

Дж эВ.

Ответ: эВ.

Задача 9.

Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны молекул азота, содержащихся в воздухе при комнатной температуре.

Решение.

Длина волны де Бройля связана с импульсом р частицы соотношением:

,

где Дж∙с – постоянная Планка.

Масса молекулы газа равна:

,

где М – молярная масса газа;

1/моль – число Авогадро.

Наиболее вероятная скорость частиц газа:

, где

Дж/моль∙К – универсальная газовая постоянная;

Т – температура газа.

Комнатная температура:

К.

Молярная масса азота:

кг/моль.

Найдём наиболее вероятную дебройлевскую длину волны молекул азота (то есть, длину волны де Бройля, соответствующую молекуле азота, имеющей наиболее вероятную скорость при комнатной температуре):

;

м.

Ответ: м.

Задача 10.

Частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней к энергии частицы в трёх случаях:

1) ;

2) ;

3) .

Дано:

1)

2) ;

3)

Решение.

Собственные значения энергии частицы, находящейся в одномерном, бесконечно глубоком, прямоугольном потенциальном ящике шириной , равна:

,

где – главное квантовое число;

Дж∙с – постоянная Планка;

– масса частицы.

Разность между двумя соседними энергетическими уровнями и равна:

.

Отношение разности соседних энергетических уровней к энергии :

;

1) ;

2) ;

3) .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

Задача 11.

Найти период полураспада радиоактивного изотопа, если его активность за время суток уменьшилась на 24 % по сравнению с первоначальной.

Дано:

сут.

Решение.

Активность А – число распадов, происходящее с ядрами образца в 1 секунду. Она пропорциональна числу нераспавшихся ядер N:

,

где – постоянная радиоактивного распада.

Пусть:

– начальная активность изотопа;

– активность изотопа через время t.

Запишем закон радиоактивного распада:

,

где – число радиоактивных ядер в изотопе в начальный момент времени ;

– число радиоактивных ядер в изотопе в некоторый момент времени .

Найдём период полураспада:

;

;

;

;

;

сут.

Ответ: сут.