4 класс, серия 2, числа и разрезания
16. Докажите, что сумма двух чисел, идущих подряд, всегда нечетная, а произведение – четное.
17. Докажите, что и сумма, и произведение любых трех чисел, идущих подряд, делится на 3.
18. Все трехзначные числа записали в ряд: …998999. Сколько раз в этом ряду а) после двойки идет ноль? б) после двойки идет единица?
19. Покупка скота. Владелец ранчо предложил ковбою купить 4 коровы и 3 лошади по цене 370 долларов, либо 3 коровы и 4 лошади по цене 330 долларов. Сколько стоит одна корова и одна лошадь?
20. Есть 82 кубика. Докажите, что из них найдется либо 10 кубиков разных цветов, либо 10 одноцветных.
21. 15 школьников собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое число орехов.
22. Найдите второе и третье по величине (то есть не самое наименьшее, а следующие два по величине после него) четное число, в записи которого участвуют все цифры. Ответ обоснуйте.
23. Квадрат 5´5 хотят разрезать на прямоугольники двух видов: 1´4 и 1´3. Может ли после разрезания получиться: а) 9 прямоугольников; б) 8 прямоугольников; в) 7 прямоугольников.
24. Один из трех богатырей 
всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий – хитрец: иногда говорит правду, а иногда – врет. На вопрос: "Кто Алёша Попович?" они дали такие ответы. Илья Муромец: "Лжец!" Добрыня Никитич: "Совершенно правдивый человек!" Алёша Попович: "Я хитрец!" Кто из богатырей лжец, а кто – хитрец? Ответ обоснуйте.
4 класс, серия 3, с таблицами
25. Футбол. Василиса, Федора, Глафира, Лукерья и Прасковья поехали в Италию смотреть футбольный матч Кубка Европейских Чемпионов "Наполи" - "Спартак". В магазине они купили 4 пары белых и одну пару красных серег. Торопясь на матч, девушки в спешке не заметили, какого цвета серьги надела каждая из них. У стадиона им удалось купить только 4 билета. "Ничего, - сказал им на входе контролер Каттани, - пусть Федора подождет за углом, а вам я даю три попытки, чтобы, не советуясь, отгадать цвет серег Федоры. Но если кто-то из вас ошибется, ей придется вернуться в гостиницу. Итак, начнем..." В первый раз все четыре девушки промолчали. Во второй раз также никто из них не смог ответить контролеру. Но в третий раз самая сообразительная из них, Василиса, дала правильный ответ. Что ответила Каттани Василиса?
26. Если бы школьник купил 1 тетрадей, то у него осталось бы 50 рублей. А на 15 тетрадей у него не хватило70 рублей. Сколько денег было у школьника?
27. Расшифруйте ребус (одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные – разные) Б + БЕЕЕ = МУУУ;
28. На каждой перемене Робин-Бобин-Барабек съедает по конфете. За неделю (с понедельника по субботу) было 30 уроков. Сколько всего конфет съел Робин?
красный | Оранжевый | желтый | зеленый | |
А | 2 | 5 | 7 | 9 |
В | 2 | 4 | 9 | 8 |
С | 4 | 2 | 8 | 9 |
29. Три человека А, В и С пересчитали кучу шариков четырех цветов. При этом каждый из них правильно различал какие-то два цвета, а два другие мог путать: кто-то путал красный и оранжевый, другой – оранжевый и желтый, а еще один – желтый и зеленый. Результаты их подсчетов приведены в таблице. Сколько каких шариков было на самом деле?
3 см2 | 2,4 см2 |
2,5 см2 | ? |
30. Прямоугольник разделён на 4 прямоугольные части двумя разрезами, параллельными его сторонам. Площади некоторых частей указаны на рисунке. Найдите площадь правой нижней части.
4 класс, серия 4,
31. Полный бидон с молоком весит 10 кг, а наполненный наполовину - 6 кг. Сколько весит бидон?
32. Карлсон мечтает: «Если бы у меня было конфет в пять раз больше, чем сейчас, то у меня было бы на 80 конфет больше». Сколько конфет у Карлсона?
33. Будильник спешит на 9 минут в сутки. Ложась спать в 22.00, Вася установил на нем точное время. На какое время ему надо завести звонок, чтобы будильник прозвенел ровно в 6:00?
34. Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Найдите делимое, делитель и частное.
10 м | 12 м |
8 м | ? |
35. Прямоугольник разделён на 4 прямоугольные части двумя разрезами, параллельными его сторонам. Периметры некоторых частей указаны на рисунке. а) Найдите периметр правой нижней части. Б) Найдите площадь правой нижней части.
36. Найти частное, если оно в 2 раза меньше делимого и в 6 раз больше делителя.
37. Листок бумаги разрезали на три части, потом одну из частей разрезали еще на 3 части, и так делали 10 раз. Сколько всего получилось частей?
38. Расставьте натуральные числа от 1 до 9 по одному в клетках доски 3´3 так, чтобы среди произведений чисел в каждой строке и в каждом столбце (всего 6 произведений) оказалось не менее трех одинаковых.
39. В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме «р», которую просто пропускают при письме, а остальные — знают все буквы, кроме «к», которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово «кот», 18 других учеников — написать слово «рот», а остальных 22 учеников — слово «крот». При этом слова «кот» и «рот» оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали свое слово верно?
40. На карте обозначено 4 деревни: A, B, C и D, соединённые тропинками (см. рисунок). В справочнике написано, что на маршрутах A–B–C и B–C–D по 10 колдобин, на маршруте A–B–D – 22 колдобины, а на маршруте A–D–B – 45 колдобин. Туристы хотят добраться из A в D так, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо идти? Не забудьте доказать, что на указанном Вами маршруте действительно меньше всего колдобин.
4 класс, серия 4,
31. Полный бидон с молоком весит 10 кг, а наполненный наполовину - 6 кг. Сколько весит бидон?
32. Карлсон мечтает: «Если бы у меня было конфет в пять раз больше, чем сейчас, то у меня было бы на 80 конфет больше». Сколько конфет у Карлсона?
33. Будильник спешит на 9 минут в сутки. Ложась спать в 22.00, Вася установил на нем точное время. На какое время ему надо завести звонок, чтобы будильник прозвенел ровно в 6:00?
34. Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Найдите делимое, делитель и частное.
10 м | 12 м |
8 м | ? |
10 м | 12 м |
8 м | ? |
35. Прямоугольник разделён на 4 прямоугольные части двумя разрезами, параллельными его сторонам. Периметры некоторых частей указаны на рисунке. а) Найдите периметр правой нижней части. Б) Найдите площадь правой нижней части.
36. Найти частное, если оно в 2 раза меньше делимого и в 6 раз больше делителя.
37. Листок бумаги разрезали на три части, потом одну из частей разрезали еще на 3 части, и так делали 10 раз. Сколько всего получилось частей?
38. Расставьте натуральные числа от 1 до 9 по одному в клетках доски 3´3 так, чтобы среди произведений чисел в каждой строке и в каждом столбце (всего 6 произведений) оказалось не менее трех одинаковых.
39. В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме «р», которую просто пропускают при письме, а остальные — знают все буквы, кроме «к», которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово «кот», 18 других учеников — написать слово «рот», а остальных 22 учеников — слово «крот». При этом слова «кот» и «рот» оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали свое слово верно?
40. На карте обозначено 4 деревни: A, B, C и D, соединённые тропинками (см. рисунок). В справочнике написано, что на маршрутах A–B–C и B–C–D по 10 колдобин, на маршруте A–B–D – 22 колдобины, а на маршруте A–D–B – 45 колдобин. Туристы хотят добраться из A в D так, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо идти? Не забудьте доказать, что на указанном Вами маршруте действительно меньше всего колдобин.
4 класс, серия 5, разрезально-банановая
41. В детский садик завезли карточки для обучения чтению: на некоторых написано «МА», на остальных – «НЯ». Дети тут же взяли по три карточки и стали составлять из них слова. Оказалось, что слово «МАМА» могут сложить из своих карточек 20 детей, слово «НЯНЯ» – 30 детей, а слова «МАНЯ» – 40 детей. У скольких ребят все три карточки одинаковы?
42. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 бананов, причем каждому досталось хотя бы по одному банану. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных; Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов съел Пятачок?
43. Юра задумал число, умножил его на 13, затем зачеркнул последнюю цифру результата, полученное таким образом число умножил на 7, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Какое число задумал Юра в самом начале?
44. Покажите, как разрезать квадрат размером 5×5 клеток на "уголки" шириной в одну клетку так, чтобы все "уголки" состояли из разного количества клеток. (Длины "сторон" уголка могут быть как одинаковыми, так и различными).
45. Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых — целое число метров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника — тоже целое число метров?
? | 20 | |||
14 | 10 | |||
32 | 28 | |||
35 | 40 | |||
9 | 21 |
46. Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась (т. е. имела общие участки границы) с тремя другими?
47. Прямоугольник разделён на 25 прямоугольные частей разрезами, параллельными его сторонам. Площади некоторых частей указаны на рисунке. Найдите площадь левой верхней части.
48. Квадрат 100 × 100 см разбит на 9 прямоугольников двумя вертикальными и двумя горизонтальными линиями. Внутренний прямоугольник имеет размеры 45 × 30 см, а стороны остальных прямоугольников не обязательно выражаются целым числом сантиметров. Найдите сумму площадей четырех угловых прямоугольников.
49. Код замка представляет собой слово из 4 букв. Каждое из слов икра, ирак, рика получено из правильного кода перестановкой каких-то двух букв. Каким мог быть правильный код? Постарайтесь найти все варианты и объяснить, почему других вариантов нет.
50. На доске написано три двузначных числа, одно из которых начинается на 5, второе — на 6, а третье — на 7. Учитель попросил трех учеников, чтобы каждый из них выбрал какие-нибудь два из этих чисел и сложил их. У первого ученика получилось 147, ответы второго и третьего — различные трехзначные числа, начинающиеся на 12. Как такое могло быть?
