Отражение и преломление

Отражение и преломление

Закон отражения

угол падения равен углу отражения.

Закон преломления

.

И там и там речь идет об углах, но почти что всегда

лучше не пользоваться углами и их тригонометрическими функциями,

а по возможности – векторами и их скалярными произведениями.

Этим и займемся.

Закон преломления

Введем следующие обозначения

· – показатель преломления в среде, откуда приходит падающий луч

· – показатель преломления в среде, куда уходит преломленный луч

· – направляющий вектор падающего светового луча,

· – направляющий вектор преломленного светового луча,

· – единичный нормальный вектор к преломляющей поверхности

· – угол падения

· – угол преломления

Еще раз подчеркнем, что наш выбор длин направляющих векторов строго определен – и .

Хорошо видно, что при таком выборе длин закон преломления сводится к равенству касательных составляющих векторов и , т. е. отрезков, отмеченных равными на рисунке. Это означает, что разность и направлена вдоль нормального вектора

или

.

Осталось определить, чему равно . Для этого возведем обе части равенства в квадрат

,

.

С учетом выбора длин векторов , и условия , имеем , и . Поэтому последнее равенство переписывается в виде

.

Это квадратное уравнение относительно

.

Его корни

.

Вот как можно определиться с правильным выбором знака перед корнем. Предположим, что показатели преломления равны , тогда преломления нет, т. е. . Тогда и . Но так будет только при выборе знака “” перед корнем. Итак,

и, значит, закон преломления выглядит следующим образом

Еще раз подчеркнем, что закон преломления, записанный в этом виде, подразумевает, что обязательно , и его применение автоматически приводит к тому, что .