Односторонние пределы

Односторонние пределы

Определение. Число А называется пределом функции справа в точке (или при ), если:

.

Определение. Число А называется пределом функции слева в точке (или при ), если:

.

Очевидно, что если предел , то существуют односторонние пределы (предел справа и предел слева) и .

Теорема. Для того чтобы необходимо и достаточно чтобы , и .

Доказательство:

Необходимость: .

Достаточность: так как , и , то и

.

Берем .

.

непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в некоторой точке и в некоторой ее окрестности.

Определение непрерывности. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е. , т. е. , что . Если , то .

Равенство означает выполнение трех условий:

1) функция определена в точке и в ее окрестности;

2) функция имеет предел при ;

3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство .

Определение непрерывности по Гейне. Функция называется непрерывной в точке , если , , .

Отрицание непрерывности. Функция не является непрерывной в точке , если , но .

Отрицание непрерывности по Гейне. Функция не является непрерывной в точке , если , но

Лемма. Если , то для .

Доказательство: , , .

ч. т.д.

арифметические действия над непрерывными функциями

Пусть и непрерывные в точке функции, тогда:

– непрерывная в точке функция, где любое постоянное число; – непрерывная в точке функция; –непрерывная в точке функция; если , то , , то – непрерывная в точке функция.

Доказательство всех свойств следует из соответствующих свойств предела. Докажем только, что если , то , где нигде не обращается в ноль. Доказательство: Пусть . Обозначим , тогда для , что , , , т. к. ; , , , . Из свойства последовательностей следует, что .

сложная функция, непрерывность сложной функции

Определение. Пусть функция определена на множестве и принимает значения из , а функция определена на множестве и принимает значения из , тогда , , тогда называется сложной функцией.

Например,

Теорема. Если функция непрерывна в точке и , непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство: доказательство проведем с помощью определения по Гейне.

Непрерывность функции в точке означает, что , ; непрерывность функции в точке означает, что , . Доказать, что непрерывна в точке , означает доказать, что , . Возьмем любую последовательность . Из непрерывности функции следует, что . Обозначим через . Из того, что . Ч. т.д.

Понятие обратной функции, непрерывность обратной функции

Определение. Пусть имеем функцию , которая определена на множестве и удовлетворяет следующему свойству:

, такие функции называются взаимнооднозначными.

Для таких функций вводится понятие обратной функции :

пусть , , . Функция называется обратной функцией функции , а – обратимой функцией: . Таким образом, для того, чтобы функция была обратима, необходимо и достаточно, чтобы она была взаимнооднозначной.

Например, функция определена на интервале , но для того, чтобы ввести понятие обратной функции необходимо рассмотреть функцию либо на полуинтервале , либо – .

Обратные тригонометрические функции.

Функция y=arcsinx является обратной к функции y=sinx, определенной на промежутке , , .

Функция y=arccosx является обратной к функции y=cosx, определенной на промежутке , , .

Функция y=arctgx является обратной к функции y=tgx, определенной на промежутке , , .

Функция y=arcctgx является обратной к функции y=ctgx, определенной на промежутке , , .

Показательная функция f(x)=ax при а>1 возрастает, a при 0<а<1 убывает на множестве R; область ее значений – множество R+. Следовательно, она обратима, и для нее определена обратная функция g(x), область определения которой – множество R+ положительных чисел, а область значений – множество R. Эту функцию называют логарифмической с основанием а и обозначают g(x)=logax. Основные свойства логарифмической функции вытекают из свойств показательной функции и теоремы об обратной функции. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел: D(logax)=R+. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел: E(logax)=R. Логарифмическая функция возрастает при a>1 и убывает при 0<a<1 на всей области определения R+.

Определение. Функция называется монотонно возрастающей, если и монотонно убывающей, если .

Таким образом, если функция монотонна, то она взаимнооднозначна, следовательно, обратима.

Лемма. Для любой монотонной функции всегда существует обратная функция, причем если , то , и если , то .

Доказательство: Если , то . Докажем, что . Пусть . Получили, что но отсюда , пришли к противоречию.

Теорема. Если монотонная функция определена и непрерывна на множестве , , то , , тоже будет монотонной и непрерывной, причем если , то , и если , то .

непрерывность элементарных функций

Определение. Функция называется непрерывной на множестве , если в каждой точке она непрерывна.

В силу того, что сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю), из непрерывности функции вытекает непрерывность следующих функций:

1);

2);

3), функция многочлен, непрерывная функция на интервале .

4), отношение двух многочленов называется рациональной функцией, которая определена и непрерывна там, где .

Тригонометрические функции.

Рассмотрим функцию и докажем, что она непрерывна на интервале .

Доказательство: доказать, что функция непрерывна в точке , значит:

,

что функция непрерывна на интервале .

Функция непрерывна на интервале , т. к. как сложная функция – непрерывна.

Функция непрерывна там, где .

Обратные тригонометрические функции.

Функции , в силу теоремы об обратной функции, непрерывны при всех значениях , при которых эти функции определены.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.