Примерные вопросы к экзамену
1. Множество. Специальные типы множеств (пустое, универсальное). Подмножество (собственное и несобственное).
2. Понятие комплексного числа.
3. Алгебра множеств (объединение, пересечение, разность, дополнение).
4. Тригонометрическая форма комплексного числа.
5. Свойства алгебры множеств.
6. Алгебра комплексных чисел в алгебраической и тригонометрической формах.
7. Числовые множества. Свойства числовых множеств.
8. Показательная форма комплексного числа.
9. Понятие вектора. Модуль вектора.
10. Предел последовательности.
11. Координаты вектора в пространстве.
12. Понятие функции. Область определения и область значений функции.
13. Алгебра векторов.
14. Предел функции в точке.
15. Системы векторов. Зависимые и независимые вектора.
16. Предел функции на бесконечности.
17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Некоторые частные случаи уравнения прямой с угловым коэффициентом.
18. Основные свойства пределов.
19. Общее уравнение прямой на плоскости.
20. Техника вычисления пределов (раскрытие неопределенностей).
21. Уравнение прямой в данном направлении через данную точку.
22. Первый замечательный предел.
23. Уравнение прямой в отрезках на плоскости.
24. Второй замечательный предел.
25. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки.
26. Правило Лопиталя.
27. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми.
28. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
29. Нормальное уравнение плоскости.
30. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
31. Общее уравнение плоскости.
32. Непрерывность функции в точке и на интервале.
33. Уравнение плоскости в отрезках.
34. Точки разрыва I-го и II-го рода.
35. Уравнение плоскости. Проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору.
36. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
37. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
38. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.
39. Условие параллельности, перпендикулярности двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями.
40. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке.
41. Векторное уравнение прямой в пространстве.
42. Теорема о достижении функций, непрерывной на отрезке, своих точных граней.
43. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.
44. Понятие сложной, обратной и неявной функций.
45. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
46. Определение производной. Физический и геометрический смысл производной.
47. Общее уравнение прямой в пространстве.
48. Производные элементарных функций (таблица производных).
49. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки.
50. Свойства производных.
51. Условие параллельности, перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью в пространстве.
52. Понятие дифференцируемости функции в точке. Связь между дифференцируемостью, непрерывностью и наличием производной в точке.
53. Понятие матрицы. Частные виды матриц. Транспонирование матриц.
54. Дифференциал функции в точке. Физический и геометрический смысл дифференциала.
55. Алгебра матриц.
56. Свойства дифференциала.
57. Понятие определителя матрицы. Знак, ми-нор, алгебраическое дополнение общего элемента матрицы.
58. Производная сложной, обратной и неявной функций.
59. Универсальный метод расчета определителя (разложение по строке или столбцу).
60. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
61. Вычисление определителей второго порядка.
62. Уравнения касательной и нормали в точке, угол между кривыми.
63. Дополнительные методы вычисления определителя третьего порядка.
64. Общий план исследования функций.
65. Метод Крамера.
66. Определение участков возрастания и убывания функций.
67. Ранг матрицы и его основные свойства.
68. Определение экстремумов функций.
69. Теорема Кронекера-Капелли.
70. Нахождение участков выпуклостей функций, направленных вверх и вниз.
71. Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса.
72. Вычисление точек перегибов функций.
73. Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными модернизированным методом Гаусса.
74. Нахождение асимптот функций.
75. Понятие обратной матрицы. Необходимое условие существования обратной матрицы.
76. Понятие о функции нескольких переменных. Способы задания.
77. Правила получения обратной матрицы.
78. Предел функции двух переменных. Основные свойства пределов функции двух переменных.
79. Матричная форма записи n линейных уравнений с n неизвестными.
80. Частные производные функции двух переменных.
81. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом обратной матрицы.
82. Понятие дифференцируемости функции двух переменных. Связь между дифференцируемостью, непрерывностью и наличием частных производных в точке функции двух переменных.
83. Собственные значения и собственные вектора матрицы.
84. Производная сложной функции двух переменных.
85. Понятие квадратичной формы.
86. Дифференциал функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала.
87. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке для функции двух переменных.
88. Экстремумы функции двух переменных.
89. Первообразная.
90. Размещения, сочетания, перестановки с повторениями и без повторений.
91. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
92. Понятие суммы и произведения нескольких событий.
93. Интегрирование элементарных функций (таблица неопределенных интегралов).
94. Опыт. Событие. Классификация событий.
95. Методы интегрирования: подстановка.
96. Алгебра событий.
97. Методы интегрирования: внесение под знак дифференциала.
98. Понятие вероятности события.
99. Методы интегрирования: интеграл обмена.
100. Классическое определение вероятности события.
101. Понятие определенного интеграла.
102. Статистическое определение вероятности события.
103. Геометрический смысл определенного интеграла.
104. Геометрическое определение вероятности события.
105. Свойства определенного интеграла.
106. Теоремы сложения вероятностей событий.
107. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
108. Условная вероятность события.
109. Методы вычисления определенного интеграла: подстановка.
110. Теоремы умножения вероятности события.
111. Методы вычисления определенного интеграла: внесение под знак дифференциала.
112. Формула полной вероятности.
113. Методы вычисления определенного интеграла: интеграл обмена.
114. Формула Байеса.
115. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей криволинейных трапеций, объемов тел вращения.
116. Формула Бернулли.
117. Несобственные интегралы I рода.
118. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины.
119. Несобственные интегралы II рода.
120. Понятие о законе распределения случайных величин.
121. Классические методы оптимизации.
122. Ряд распределения дискретной случайной величины.
123. Системы линейных неравенств.
124. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
125. Линейные задачи оптимизации.
126. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
127. Основные определения и задачи линейного программирования.
128. Отклонение дискретной случайной величины.
129. Симплексный метод.
130. Основное свойство отклонения дискретной случайной величины.
131. Теория двойственности.
132. Дисперсия дискретной случайной величины.
133. Дискретное программирование.
134. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.
135. Динамическое программирование.
136. Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.
137. Нелинейное программирование.
138. Интегральная функция распределения дискретной случайной величины. Ее график.
139. Функции полезности.
140. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Ее график.
141. Кривые безразличия.
142. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.
143. Функции спроса.
144. Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины.
145. Уравнение Слуцкого.
146. Дисперсия непрерывной случайной величины.
147. Кривые «доход-потребление»
148. Свойства дисперсии непрерывной случайной величины.
149. Кривые «цены-потребление».
150. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
151. Коэффициенты эластичности.
152. Равномерный закон распределения случайной величины и его свойства.
153. Материальные балансы.
154. Числовые характеристики равномерного закона распределения.
155. Функции выпуска продукции.
156. Нормальное распределение и его свойства.
157. Производственные функции затрат ресурсов.
158. Числовые характеристики нормального распределения.
159. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции.
160. Нормальная кривая. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.
161. Модели общего экономического равновесия.
162. Вычисление вероятности заданного отклонения.
163. Модель Эрроу-Гурвица.
164. Правило трех сигм.
165. Статистическая модель межотраслевого баланса.
166. Показательное распределение и его свойства.
167. Динамическая модели межотраслевого баланса.
168. Числовые характеристики показательного распределения.
169. Общие модели развития экономики.
170. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины.
171. Модель Солоу.
172. Неравенство Чебышева.
173. Теорема Чебышева.
174. Теорема Бернулли.
175. Генеральная и выборочная совокупности.
176. Дискретный вариационный ряд и его параметры.
177. Интервальный вариационный ряд и его параметры.
178. Полигон. Гистограмма.
179. Генеральные и выборочные характеристики.
180. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
181. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
182. Оценка генеральной дисперсии по выборочной исправленной дисперсии.
183. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ.
184. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ.
185. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения.
186. Функциональна, статистическая и кореляционные зависимости.
187. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным данным.
188. Корреляционная таблица. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным.
189. Понятие статистической гипотезы. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение Критерия. Критическая область. Критические точки.
190. Отыскание критических областей.
191. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки).
192. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки).
193. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности.
194. Общая, факторная и остаточные суммы квадратов отклонений.
Литература
Основная
1. Математика для социологов и экономистов: учебное пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008 г.
2. Геворкян математика. Основы математического анализа: учебник для вузов: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г.
3. Геворкян математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г.
Дополнительная
1. Никольский математического анализа: учебник для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г.
2. Геворкян математика. Основы математического анализа: учебник для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г.
3. Туганбаев анализ. Часть 1: Пределы: учебное пособие. М.: Флинта, 2011 г.
4. , Позняк математического анализа: В 2-х ч. Часть I: учебник для вузов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009 г.
5. Кудрявцев курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008 г.
