Взаимные положения двух плоскостей

Л Е К Ц И Я 7

ВЗАИМНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

П л а н:

1. Взаимно параллельные плоскости

2. Взаимно пересекающиеся плоскости

1. Взаимно параллельные плоскости

Параллельность плоскостей определяется на основании теоремы: если две пересе­каю­щиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны друг другу. Прямые, определяющие плоскость, могут быть общего и частного положения. Плоскости, задан­ные следами, взаимно парал­лельны в том случае, если два пересекающихся следа одной плоскости параллельны двум одно­имен­ным следам другой плоскости (рис. 39). Взаим­ное положение плоскостей общего положения определяют любые два следа. Параллельность профильно-прое­цирую­щих плос­костей определяют с помощью профильных следов. На рис. 40 показаны случаи, когда эти плоскости параллельны и пересекаются.

Рассмотрим два примера построения плоскости, параллель­ной данной.

Пример 1. Через точку А надо провести плоскость, парал­лельную плос­кос­ти, заданной треугольником BCD (рис. 41). Проведем через точку А прямые AM и AN, соответственно па­раллельные сторонам ВС и CD треугольника. Эти две пе­ресекающиеся в точке А прямые определяют искомую плоскость.

Пример 2. Через точку А надо провести плоскость Q, па­раллельную плос­кости Р, заданной следами Рн и Pv (рис. 42). Через точку А проводим гори­зон­таль искомой плоскости, параллельную горизонталям плоскости Р, и нахо­дим ее фрон­тальный след V1. Через фрон­тальную проекцию v1 / этого следа прово­дим Qv॥Pv и через точку Qx проводим Qh॥Ph.

2. Взаимно пересекающиеся плоскости

Рис. 43

Известно, что две плос­кости взаимно пересекаются по прямой линии. Для определения линии пересечения доста­точно найти две любые точки, принад­лежащие одновременно двум пересе­каю­щим­ся плоскостям.

На рис. 43, а даны две пересекающиеся плос­кос­ти Р и Q в аксоно­метричес­кой проекции. Их гори­зонтальные следы Рн и Qh пересекаются в точке Н1 а фронтальные Ру и Qy – в точ­ке V1. Каждая из точек Н1 и V1 од­но­вре­мен­но при­надлежит плоскостям Р и Q, поэтому прямая Н1V1 принад­лежит этим плоскостям, т. е. является линией их пересе­че­ния. Точка Н1 яв­ляется гори­зон­тальным, а точка V1 – фрон­тальным следом ли­нии пере­се­че­­ния плоскостей.

Следовательно, если плоскости заданы следами, то для опре­деления линии пересечения достаточно найти точки пересечения одноименных следов и соединить их прямой линией.

На рис. 43 дан чертеж тех же пересекающихся плоскостей и показано построение горизонтальной h1v1 и фронтальной h1¢v1¢ проекций линии их пересечения.

В случае когда пересекается плоскость общего положения с проеци­рующей, одна из проекций линии пересечения опреде­ляется сразу, без дополни­тель­ных построений — она совпадает со следом на той плоскости проекций, к которой перпендикуляр­на проецирующая плоскость. На рис. 44 показаны две пере­секающиеся плоскости, заданные следами: плос­кость Р общего положения и плоскость Q горизонтально-проецирующая. Гори­зонтальная проекция h1v1 линии пересечения совпадает с гори­зонтальным следом Qh, фронтальная проекция определяется точками h1 и v1.

На рис. 44 показано построение линии пересечения плос­кости, заданной треугольником ABC, с фронтально-проецирую­щей плоскостью R, заданной следами. Фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом Rv и определяется точ­ками т' и п'. Горизонтальная проекция определяется точками т и п, которые находят при помощи линий связи на горизонталь­ных проекциях ас и bс сторон треугольника. Невидимая часть горизонтальной проекции треугольника показана штриховыми линиями.

Если плоскость общего положения пересекается плоскостью уровня, то линия пересечения является одной из главных линий плоскости: горизонталью, фронталью или профильной прямой. Так, горизонтальная плоскость уровня Q пересекает плоскость общего положения Р по горизонтали (рис. 45), а фрон­таль­ная плоскость R – по фронтали (рис. 45).

Из множества возможных случаев пересечения двух плоско­стей необхо­димо выделить следующие:

а) следы плоскостей не пересекаются в пределах чертежа;

б) следами задана только одна плоскость;

в) ни одна из плоскостей не задана следами.

Во всех этих случаях сначала находят две какие-либо про­межуточные точки линии пересечения. Для этого используют вспомогательные плоскости, чаще всего плоскости уровня.

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей Р и Q на наглядном изображении (рис. 46). Чтобы найти ка­кие-либо точки линии их пересечения, проводят горизонтальную плоскость S1. Она пересекает плоскости Р и Q по прямым, ко­торые, в свою очередь, пересекаются в точке М, принадлежащей линии пересечения. Проведя вторую горизонтальную плоскость Sz, аналогично находят точу N, линии пересечения.

На рис. 47 показано построение проекций линии пересече­ния плоскостей, одна из которых задана параллельными пря­мыми АВ и CD, а другая – треугольником EFK. В качестве вспомогательных использованы горизон­таль­ные плоскости уров­ня S1 и S2 . Каждая из них пересекает заданные плоскости по го­ризонталям, в пересечении которых и находятся точки М и N, принад­лежащие линии пересечения плоскостей. При этом сна­чала находят горизон­тальные проекции т и п, а затем – фронтальные проекции т' и п' этих точек.