Контрольная работа №4

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

Вариант №1

№1 (111)

Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.

а) .

Решение

Проверим результат интегрирования дифференцированием.

, при верном интегрировании должно выполняться равенство: .

В нашем случае , .

Дифференцируем

, равенство , выполнено, значит, интеграл найден верно.

б) .

Решение

Замена , .

Проверим результат интегрирования дифференцированием.

, при верном интегрировании должно выполняться равенство: .

В нашем случае , .

Дифференцируем

, равенство , выполнено, значит, интеграл найден верно.

г) .

Решение

Проверим результат интегрирования дифференцированием.

, при верном интегрировании должно выполняться равенство: .

В нашем случае , .

Дифференцируем

равенство , выполнено, значит, интеграл найден верно.

Ответ: а) ;

б) ;

г) .

№2 (121)

Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница интеграл .

Решение

Ответ:

№3 (131)

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

.

Решение

Несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом

.

Вычислим по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .

.

Находим предел и вычисляем несобственный интеграл:

.

Интеграл сходится.

Ответ: интеграл сходится, .

№4 (141)

Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями , .

Решение

В прямоугольной декартовой системе координат строим графики функций и .

Площадь фигуры найдем как сумму четырех фигур: .

;

;

;

(кв. ед.).

Ответ: (кв. ед.).

№5 (151)

Найти общее решение дифференциальных уравнений

а) .

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

;

Интегрируем обе части равенства

Вычислим отдельно интегралы, находящиеся в левой части равенства:

;

.

;

;

Ответ: .

б) .

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решим его методом вариации произвольной постоянной.

Решим соответствующее однородное уравнение

- уравнение с разделяющимися переменными.

- разделяем переменные.

- интегрируем обе части равенства.

.

Общее решение уравнения . Найдем .

Подставляем в уравнение, выражаем .

;

;

;

.

Решение уравнения: .

Ответ: .

№6 (161)

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , .

Решение

Неоднородное уравнение, общее решение которого равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного однородного уравнения.

1) Найдем общее решение однородного уравнения

.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

;

, корень кратности два.

.

2) Найдем частное решение

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения есть функция специального вида.

, корень характеристического уравнения кратности два. Вид частного решения . Найдем коэффициент А.

.

;

;

.

.

Ответ: .

№7 (171)

Найти область сходимости данного степенного ряда

.

Решение

Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формуле:

.

В нашем случае , . Находим радиус сходимости:

. Неопределенность вида . Избавимся от неё разделив числитель и знаменатель на . Получаем:

,

т. е. интервал сходимости ряда .

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На правом конце , данный степенной ряд принимает вид .

Исследуем на сходимость ряд. Воспользуемся предельным признаком сравнения. В качестве эталонного ряда возьмем гармонический ряд , он является расходящимся. Рассмотрим предел отношения общих членов . Неопределенность вида . Избавимся от неё разделив числитель и знаменатель на . Получаем:

.

Предел отношения существует и конечен, значит, поскольку сходится ряд , то сходится также и ряд .

На левом конце , данный степенной ряд принимает вид .

Исследуем на сходимость знакочередующийся ряд . Члены данного ряда монотонно убывают по абсолютной величине . Найдем предел модуля общего члена ряда: . Оба условия признака Лейбница выполнены, следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Выясним характер сходимости, для этого исследуем ряд . Раннее мы показали, что ряд является сходящимся. Таким образом, ряд - сходится абсолютно.

Ответ: интервал сходимости ряда .

№8 (181)

Найти параметры линейной зависимости методом наименьших квадратов. Построить график

	1,0	1,5	2,0	3,0	3,2
	8,1	9,0	11,2	13,8	14,7

Решение:

Методом наименьших квадратов аппроксимируем данные линейной зависимостью . Для нахождения параметров а и b решим систему

Прежде чем начать решать систему, найдем соответствующие суммы, составив таблицу.

	1,0	8,1	8,1	1
	1,5	9,0	13,5	2,25
	2,0	11,2	22,4	4
	3,0	13,8	41,4	9
	3,2	14,7	47,04	10,24
	10,7	56,8	132,44	26,49

Составляем систему уравнений, из которой находим параметры линейной зависимости.

Выразим из второго уравнения b и подставим в первое

Параметры линейной зависимости: , , линейная зависимость выражается уравнением: .

Ответ: параметры линейной зависимости: , , линейная зависимость выражается уравнением: .