Урок 4
Извлечение корня из комплексного числа
Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z – это операция обратная возведению в степень n, то есть 
– это такое комплексное число, n-ая степень которого равна z, то есть
wn = z.
Запишем числа z и в показательной форме: z = rеij и w = rеiy, тогда, так как wn = z, то rn = r и ny = j. Откуда находим, что r = 
и y = j/n, то есть w = 
еij/n. Но дело в том, что аргумент комплексного числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2p.. Поэтому кроме значения аргумента y = j/n у корня из z могут быть и значения аргумента, равные (j + k2p)/n, где k = 0, 1, ... , (n–1).
Таким образом, мы получим n различных корней:
, где k = 0, 1, ... , (n–
Заметим, что если брать k > (n – 1), то мы будем повторно получать числа, содержащиеся в (9). Например, при k = n получим 
.
Посмотрим теперь, как расположены на комплексной плоскости числа (9). Во-первых, они все имеют один и тот же модуль , следовательно, они лежат на окружности, радиуса с центром в точке 0. Во-вторых, последующий корень wk+1 получается из предыдущего wk добавлением к аргументу одного и того же числа 2p/n, что соответствует повороту (против часовой стрелки) на этот угол. Это говорит о том, что корни wk расположены в вершинах правильного n-угольника.
Итак, все корни 
(z ¹ 0) лежат в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность, радиуса 
с центром в точке 0, причем одна из вершин соответствует корню с аргументом, равным (argz)/n.
Пример 7. Найти все корни уравнения z3 = – 8, записать их в алгебраической форме и построить соответствующие точки на комплексной плоскости.
Решение. Очевидно, задача сводится к отысканию 
. Поэтому, как мы выяснили,½w½=
=2; argwk = (arg(–8) + 2pk)/3 = (p + 2pk)/3, где k = 0, 1, 2. Отсюда получаем, что
w0 = 2еip/3 = 2(cosp/3 + isinp/3) = 1 + i
;
w1 = 2еip = –2;
w2 = 2еi5p/3 = 2(сos5/3 + isin5/3) = 1 – i.
На рис. 6 показано, что точки комплексной плоскости, соответствующие найденным корням w0, w1 и w2 лежат в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиуса 2. Причем одна из вершин этого треугольника лежит на луче, соответствующем значению аргумента p/3.
 |
Рис. 6.
Ответ: w0 = 1 + i; w1 = –2; w2 = 1 – i – решения данного уравнения z3 = – 8.
