Вариант №5
Задание I.
Вычислите 
.
Решение:
Задание II.
Дано: 
Найти 
и выяснить, зависимы ли события А, В.
Решение:
События независимы, если
Тогда данные величины зависимы.
Задание III.
Среди 20 одинаковых по внешнему виду тетрадей 16 в клетку. Взято четыре тетради. Найдите вероятность того, что из них:
а) ровно две тетради в клетку;
б) хотя бы одна тетрадь в клетку.
Решение:
А) Всего существует 
способов выбрать 4 тетради из 20.
2 тетрадки в клетку из 16 и 2 не в клетку из 20-16=4 можно выбрать 
способами. Тогда искомая вероятность равна
.
Б) Вероятность того, что из 4 тетрадей хотя бы одна в клетку равна разности 1 и вероятности того, что 4 тетради не в клетку. 4 тетради не в клетку из 4 не в клетку можно выбрать единственным способом, тогда искомая вероятность равна
.
Задание IV.
В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 3 % брака, второй — 1 %, третий —2 %. Определите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если в цех поступило от автоматов соответственно 500, 200 и 300 деталей.
Решение:
Пусть событие А состоит в том, что на сборку попала бракованная деталь. По условию она может быть произведена одним из 3 автоматов с вероятностями 0,5; 0,2 и 0,3. Условные вероятности для брака равны 0,03; 0,01 и 0,02. Тогда по формуле полной вероятности вероятность того, что попала бракованная деталь равна:
.
Задание V.
Из поступивших в магазин телефонов третья часть белого цвета, однако это становится видно только после распаковки. Найдите вероятность того, что из шести нераспакованных телефонов: а) ровно два белых; б) хотя бы один белый.
Решение:
По условию вероятность того, что телефон белый равна 2/3. По формуле Бернулли:
.
Тогда
а) 
;
б) 
.
Задание I.
Среди интегральных схем, поступающих в ОТК, 10 % бракованных. Автомат, осуществляющий контроль, проверяет схему за схемой, пока не признает очередную стандартной. Составьте ряд распределения св. — числа схем, проверенных автоматом вместе с последней, которую он признает стандартной. Каково математическое ожидание этой св.?
Решение:
В задаче описано геометрическое распределение с q=0,1 и р=0,9. Тогда ряд распределения имеет вид:
Х | 1 | 2 | 3 | … | К | … |
Р | 0,9 | 0,09 | 0,009 | … | 0,9*0,1К-1 | … |
Математическое ожидание св., распределенной по геометрическому закону, равна 
.
Задание II.
Дня д. с.в. X с рядом распределения
-1 | 0 | 1 | 8 |
0,2 | 0,1 | P1 | P2 |
а) найдите вероятности p1 и p2 так чтобы M(X)=0,5; после чего вычислите дисперсию и постройте функцию распределения.
Решение:
Составим систему уравнений, используя определение мат. ожидания и то, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1:
-1 | 0 | 1 |
0,2 | 0,1 | 0,7 |
Функция распределения:
Задание III.
Кассирша сдает сдачу менее 100 руб. монетами и любое значение в этом промежутке равновозможно (пренебрежем дискретностью размера сдачи и будем предполагать этот размер непрерывным в промежутке [0,100). Какова вероятность того, что две последовательные сдачи в сумме: а) будут больше 100 руб.; б) будут менее 120 руб.?
Задание IV.
Рассмотрим несколько различных операций (Q1, Q2, Q3)
со случайным доходом.
Q1
-10 | 0 | 20 | 50 |
0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,2 |
Q2
-10 | 0 | 20 | 50 |
0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,4 |
Q3
-10 | 0 | 20 | 50 |
0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,4 |
Вычислить для всех операций ожидаемый доход 
, СКО, r . Нанести
эти характеристики на единый рисунок, получив графическое изображение операций. С помощью взвешивающей формулы 
, найти
лучшую и худшую операции.
Решение:
Q1:
Лучшая операция первая, худшая третья.
1. По свойствам математического ожидания мат. ожидание Х равно 3*0=0, дисперсия: 9*2=18. Функция плотности распределения Х:
Правило 3 сигм: 
2. 
3. Число интервалов по формуле Стерджесса равно 
, длина интервала 
. Составим интервальный ряд:
Интервал | 5-20,5 | 20,5-36 | 36-41,5 | 41,5-57 | 57-72,5 | 72,5-98 |
Частота | 3 | 5 | 2 | 8 | 7 | 5 |
Относительная частота | 0,1000 | 0,1667 | 0,0667 | 0,2667 | 0,2333 | 0,1667 |
Многоугольник частостей:
Выборочная функция распределения:
Выборочное среднее:
По исходному ряду: (5+11+22+...+77+39)/30=49,93.
По интервальному ряду:
Выборочная дисперсия:
Так как выборочные значения от 0 до 100, то можем предположить что это измерение некоей величины в процентах. Пусть данная случайная величина влажность воздуха.
4. Закон распределения Х:
Х | -1 | 0 | 1 |
Р | 0,1 | 0,2 | 0,7 |
Закон распределения У:
У | 0 | 1 |
Р | 0,4 | 0,6 |
Условный закон распределения Х при условии У=0:
Х | -1 | 0 | 1 |
Р | 0,25 | 0,25 | 0,5 |
(Х-MX)*(Y-MY) | -1.6*(-0.6) | -1.6*0.4 | -0.6*(-0.6) | -0.6*0.4 | 0.4*(-0.6) | 0.4*0.4 |
P | 0.04 | 0.06 | 0.08 | 0.12 | 0.28 | 0.42 |
(Х-MX)*(Y-MY) | -0,64 | -0.24 | 0.16 | 0.36 | 0,96 |
P | 0.06 | 0.4 | 0.42 | 0.08 | 0.04 |
Тогда коэффициент корреляции также равен 0.
