13.4.4. Расчет индуктивностей

В этом разделе рассматриваются статические индуктивности, которые зависят от геометрии системы проводящих контуров с токами, магнитной проницаемости среды и самих проводников. Если то индуктивности не зависят от токов.

Получим общее выражение для взаимной индуктивности двух проводящих контуров произвольной формы, размеры поперечного сечения которых малы как по сравнению с их длинами так и с расстоянием между контурами (рис. 13.22,а).

Векторный магнитный потенциал в некоторой точке от первого контура с током  подсчитаем по формуле (13.54): где – магнитная проницаемость среды, а R – расстояние от элемента тока до рассматриваемой точки. Магнитный поток, создаваемый этим током и пронизывающий второй контур, можно подсчитать по формуле (13.53): По определению (см. раздел [5.1]) взаимная индуктивность второго контура по отношению к первому равна

Здесь R – расстояние между элементами контуров Легко убедиться, что вычисление взаимной индуктивности первого контура по отношению ко второму, в котором протекает ток , даст тот же самый результат. Так что как это и должно быть в соответствии с принципом взаимности.

Вычислить подобным же образом собственную индуктивность без каких-либо оговорок нельзя, поскольку двойное интегрирование по одной и той же длине даст результат, неимеющий физического смысла. Обычно потокосцепление контура с током и магнитного потока, им создаваемого, представляют в виде двух составляющих:

Внешнее потокосцепление  определяется магнитным потоком, замыкающимся вне проводника (на рис. 13.22,а этот поток пронизывает заштрихованную площадку, ограниченную контуром  а внутреннее  – в теле самого проводника, заключенного между внутренним контуром  и внешним  Если предположить, что ток сосредоточен на оси проводника, то первое слагаемое можно определить по формуле (13.64), учитывая весь ток по длине  и весь магнитный поток за пределами контура 

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Полагая далее, что радиусы закругления отдельных участков проводника значительно превышают размеры его поперечного сечения, подсчитаем внутреннее потокосцепление, используя результаты расчета магнитного поля внутри прямолинейного проводника с током, полученные в примере 13.14.

Магнитный поток, пронизывающий элементарную площадку шириной dr и длиной  которая перпендикулярна плоскости чертежа на рис. 13.22,б, равен Этот поток сцепляется с током составляющим долю от всего тока I. Значит, потокосцепление элементарного потока и тока составит Тогда внутреннее потокосцепление

Теперь можно подсчитать и индуктивность:

Здесь где  – абсолютная магнитная проницаемость окружающей проводник среды, а  – проницаемость материала проводника. Если они равны (например, медный проводник в воздухе), то У достаточно длинных и тонких проводников доля, вносимая внутренней индуктивностью, несущественна. Если же провод изготовлен из ферромагнитного материала, то эту добавку необходимо учитывать.

Пример 13.16. Индуктивность двухпроводной линии.

Известны: d – расстояние между осями медных проводов воздушной линии, – их радиусы.

Определить индуктивность единицы длины линии .

Решение

Искомую величину определим по формуле (13.65), причем для вычисления внешней индуктивности воспользуемся результатами, полученными в примере 13.15. Магнитный поток, пронизывающий прямоугольную площадку между проводами линии длиной l и шириной  легко определяется по формуле (13.53). Действительно, выполняя интегрирование по внутреннему контуру линии, следует иметь в виду, что величина векторного магнитного потенциала в точках этого контура одинакова, а направление совпадает с направлением тока соответствующего провода. Поэтому значения интеграла на сторонах прямоугольника длиной l одинаковы: а на сторонах, им перпендикулярных, обращаются в нуль.

Подставив в выражение (13.61) находим Затем вычисляем и В свою очередь внутренняя индуктивность двух проводов общей длиной 2l, как было показано выше, равна Остается их просуммировать, приняв l равной единице длины:

В линиях электропередачи поэтому, пренебрегая в этом случае и внутренней индуктивностью, можно записать:

Сравним полученное выражение с формулой емкости единицы длины линии (13.36). Налицо определенное сходство, диктуемое принципом двойственности, который проявлялся и в аналогии картин магнитного и электростатического полей двухпроводной линии. Поэтому дробь равна скорости света, а волновое сопротивление такой линии равно:

Пример 13.17. Индуктивность коаксиального кабеля.

Известны геометрические размеры кабеля (рис. 13.18) с медной жилой и оболочкой из ферромагнитного материала с абсолютной магнитной проницаемостью .

Определить индуктивность единицы длины кабеля .

Решение

Индуктивность кабеля длиной l можно представить в виде трех слагаемых. Первое – это внутренняя индуктивность центрального проводника, которая определяется, как в примере 13.16, для одного провода

Второе – внешняя индуктивность, которая связана с магнитным потоком, замыкающимся внутри изоляции. На рис. 13.21 он пронизывает прямоугольную площадку, перпендикулярную плоскости чертежа, длиной l и шириной  При вычислении магнитного потока с помощью формулы (13.53) обнаружим, что свой вклад в нее вносит лишь значение векторного магнитного потенциала на стороне прямоугольника, совпадающей с внутренней поверхностью трубчатого проводника. На внешней поверхности центрального проводника в силу принятого при определении векторного магнитного потенциала условия. На двух поперечных сторонах значение интеграла равно нулю поскольку векторы А и dl взаимно перпендикулярны. Поэтому искомый поток

тогда

Третье слагаемое – это внутренняя индуктивность трубчатого проводника, которая определяется из расчета потокосцепления подобно тому, как это было сделано в начале раздела для применительно к центральному проводнику. При этом следует использовать формулу векторного потенциала из (13.60,а). Опуская вычисления, приведем конечный результат:

Полное значение индуктивности на единицу длины кабеля равно

Если не учитывать внутренние индуктивности проводников, то в формуле останется одно слагаемое:

Характерно, что и это выражение обладает сходством с формулой емкости единицы длины кабеля, полученной в примере 13.10. Сходство обусловлено принципом двойственности, который упоминался при анализе результатов предыдущего примера. В кабеле, как и в двухпроводной линии, скорость распространения электромагнитной волны не зависит от его геометрических размеров, но оказывается меньше скорости света: Ведь относительная диэлектрическая проницаемость изоляции Эта же величина входит и в формулу волнового сопротивления кабеля: