Задача (стр. 1 )

Задача

Задача №1

Построить на плоскости область допустимых решений системы линейных неравенств и найти максимальное и минимальное значения линейной функции цели в этой области.

Решение

Построим на плоскости область, которая соответствует данным ограничениям.

Получили четырехугольник.

Присвоим целевой функции некоторое значение, допустим

построим на плоскости и будем перемещать параллельно до достижения ОДР.

Крайняя точка и будет минимумом. Это точка пересечения

Перемещая дальше до завершения ОДР, получим максимум. Максимум достигается на участке прямой , от точки пересечения

до точки пересечения

Поскольку угловые коэффициенты и целевой функции совпадают, получили не только точку максимума, а диапазон значений, при которых достигается максимум

Задача №2

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве единиц, ресурса второго вида в количестве единиц, ресурса третьего вида в количестве единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве и единиц, ресурсов второго вида в количестве и единиц, ресурсов третьего вида в количестве и единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно (тыс. руб.)

Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

Решение

Пусть количество товара, соответственно 1,2 и 3 групп. Тогда прибыль от реализации составит

это целевая функция, которую требуется максимизировать.

Существуют ограничения на ресурсы. Ресурс первого вида ограничен величиной , т. е.

Ресурс второго вида ограничен величиной , т. е.

Ресурс третьего вида ограничен величиной , т. е.

Поскольку выпуск товара не может быть отрицательной величиной, то из экономической целесообразности все переменные неотрицательны.

Сформулируем математическую постановку задачи

будем решать поставленную задачу симплекс методом. Для того приведем задачу к каноническому виду. Введем дополнительные переменные

Построим первую симплекс таблицу

Базисные	Свободные
переменные	члены
	180	3	6	4	1	0	0
	50	2	1	2	0	1	0
	40	2	3	1	0	0	1
F		-6	-5	-5	0	0	0

В столбце свободных членов нет отрицательных элементов, следовательно найдено допустимое решение. В строке F есть отрицательные элементы, следовательно полученное решение не является оптимальным. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-6). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.
Пересчитаем таблицу

Базисные	Свободные
переменные	члены
	120	0	1,5	2,5	1	0	-1,5
	10	0	-2	1	0	1	-1
	20	1	1,5	0,5	0	0	0,5
F	120	0	4	-2	0	0	3

В столбце свободных членов нет отрицательных элементов, следовательно найдено допустимое решение. Так как в строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-2). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.
Пересчитаем таблицу

Базисные	Свободные
переменные	члены
	95	0	6,5	0	1	-2,5	1
	10	0	-2	1	0	1	-1
	15	1	2,5	0	0	-0,5	1
F	140	0	0	0	0	2	1

Нашили оптимальное решение.