Расчет пологих оболочек двоякой кривизны

Расчет пологих оболочек двоякой кривизны

6.6. Расчет пологих оболочек двоякой кривизны

Оболочка считается пологой, если ее геометрические размеры таковы, что выполняется условие , т. е. если стрела подъема f оболочки в центре не превосходит 1/5 длины меньшей стороны оболочки в плане, либо , , где , – стрелы подъема сторон контура, , – размеры оболочки в плане.

Очевидно, что пологая оболочка двоякой кривизны, изображенная на рис. 6.19, характеризуется положительной гауссовой кривизной и обладает большой жесткостью. Такие оболочки в настоящее время достаточно широко применяются для устройства железобетонных большепролетных покрытий. Теория пологих оболочек была разработана во 2-й половине 40-х годов ; она лежит в основе большинства методов расчета упомянутых выше конструкций.

В теории пологих оболочек, помимо гипотез, указанных в п.6.1, делается ряд специальных допущений.

Рассмотрим элемент срединной поверхности (рис. 6.19, (а)), горизонтальная проекция которого есть прямоугольник со сторонами, параллельными осям x и y. Углы наклона касательных к его сторонам обозначим и (рис.6.19, (б)). В силу условий пологости оболочки, эти углы достаточно малы, чтобы можно было принять

, , , , (6.43)

откуда следует

, . (6.44)

Поэтому считается, что

а) геометрия срединной поверхности пологой оболочки не отличается от геометрии плоскости;

б) для пологих оболочек можно также принять, что , ;

в) линии на срединной поверхности, проекции которых суть прямые, параллельные осям x и y, являются линиями главных кривизн.

Рис. 6.19

Из (6.43) следует также, что можно не делать различия между нормалью к срединной поверхности и вертикалью.

Для пологих оболочек, применяемых для устройства покрытий и перекрытий, в большинстве случаев основной является вертикальная нагрузка (собственный вес, полезная нагрузка). Поэтому в дальнейшем, считается отличной от нуля только составляющая , действующая в направлении оси z.

Расчет пологой оболочки заключается в определении 15 неизвестных (6 усилий, 6 деформаций и 3 перемещений) являющихся функциями переменных x и y (рис. 6.9).

Уравнения равновесия запишем по аналогии с уравнениями плоской задачи (3.11) и теории изгиба пластинок (5.12) – (5.14).

, ,

, , (6.45)

.

При , когда оболочка превращается в пластинку, последнее из этих уравнений вырождается в (5.14).

Зависимости между внутренними усилиями моментного типа и перемещениями принимаются такими же, как и в теории изгиба пластинок

(6.46)

Сохраняются поэтому и выражения для перерезывающих сил.

, , (6.47)

где

. (6.48)

Уравнение совместности деформаций (3.17) здесь принимает вид

, (6.49)

где

(6.50)

оператор, учитывающий кривизны оболочки и .

Если мембранные усилия представить по аналогии с плоской задачей, через функцию напряжений

, , , (6.51)

то формулы закона Гука преобразуются к виду

(6.52)

, ,

,

Теперь, приведенные здесь уравнения (6.45) – (6.52), можно свести к двум уравнениям относительно функции прогибов w и функции напряжений F. Если в последнее из уравнений равновесия (6.45) подставить выражения (6.47) для поперечных сил и выражения (6.50) для мембранных сил, то получим

. (6.53)

Если в уравнении совместности деформаций (6.49) деформации выразить с помощью зависимостей (6.52) то получим

. (6.54)

Воспользовавшись обозначениями (6.48) и (6.50) для операторов Лапласа и и применив обозначение , систему из двух разрешающих уравнений (6.53) и (6.54) теории пологих оболочек можно представить следующим образом

(6.55)

Выражения (6.55) представляют собой уравнения смешанного метода: одна неизвестная функция F - силовая, другая w – есть перемещение. Первое из уравнений получено из условий равновесия, второе – из условия совместности деформаций. Наконец, операторы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются только знаком.

Легко заметить, что при , , т. е. тогда, когда срединная поверхность оболочки вырождается в плоскость, система уравнений (6.55) распадается на два самостоятельных дифференциальных уравнения в частных производных. В этом случае первое из этих уравнений, является бигармоническим уравнением плоской задачи, второе - основным уравнением изгиба пластинок.

Функции w и F являются разрешающими. Это значит, что через них можно выразить мембранные усилия (6.57), изгибающие и крутящие моменты (6.46), поперечные силы (6.47), а воспользовавшись геометрическими зависимостями и формулами (6.52) можно получить выражения для перемещений u и v

(6.56)

Естественно, что при решении конкретных задач к системе разрешающих дифференциальных уравнений (6.55) следует присоединить условия на контуре.

Рассмотрим расчет пологих оболочек двоякой кривизны с шарнирным опиранием по всему контуру.

 

Рис. 6.20

Предположим, что пологая оболочка положительной гауссовой кривизны закреплена по всему контуру, как показано на рис. 6.20. Граничные условия, таковы:

(6.57)

при и :, , , ;

при и :, , , .

Требуется построить решение системы дифференциальных уравнений (6.55), удовлетворяющее условиям (6.57). Для этого представим искомые функции в виде двойных тригонометрических рядов (решение ):

, (6.58)

. (6.59)

Здесь и – неизвестные постоянные коэффициенты, m и n – числа натурального ряда.

Величину внешней нагрузки , стоящую в правой части первого уравнения (6.55), разложим также в двойной тригонометрический ряд на прямоугольной области , , то есть:

. (6.60)

Коэффициент – величина известная, определяемая согласно теории рядов Фурье:

. (6.61)

Выражения (6.58) и (6.59) удовлетворяют граничным условиям (6.57). Действительно, если развернуть эти граничные условия с помощью выражений (6.46), (6.51) и (6.56), увидим, что, например, для и

(6.62)

В (6.62) входят производные по переменной x только четных порядков. А так как при и , величина и любая её четная производная обращаются в нуль, то условия (6.57) удовлетворяются. То же можно показать и для краев и .

Для определения коэффициентов и подставим ряды (6.58), (6.59) и (6.60) в систему (6.55); для каждого члена ряда получим следующую систему алгебраических уравнений

(6.63)

Решая ее, находим

(6.64)

Для упрощения формул введем обозначения

, . (6.65)

Тогда

(6.65)

В случае действия равномерно распределенной нагрузки, то есть при , выражение (6.61), которое применяется при расчете как оболочек, так и пластинок, принимает вид

(6.67)

Подстановка (6.67) в (6.64) дает

, , (6.68)

где

(6.69)

Если подставить (6.66) в (6.58), (6.59), а затем в (6.и (6.47) то получим расчетные формулы

,

,

,

,

, (6.70)

,

,

,

.

Быстрота сходимости рядов (6.70) определяется структурой их коэффициентов. Каждый из них представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами относительно индексов m и n. Чем больше степень знаменателя превышает степень числителя, тем быстрее сходится ряд. Если, например, подставить в формулы для и выражения и (6.69), то убедимся, что у полученных дробей знаменатели одинаковы, в числителе же у выражения для стоит многочлен четвертой степени, а у выражения для – шестой. Ряд для сходится быстрее, чем для . Вообще, ряды для мембранных усилий сходятся быстрее, чем для моментных.

В этом можно также убедиться сравнив форму эпюр тех и других усилий (рис. 6.2). У мембранных усилий она гораздо более плавная.

В строительстве обычно применяются пологие оболочки с соотношением размеров ; чаще всего – квадратные. На рис. 6.21 показан примерный вид эпюр внутренних усилий в квадратной оболочке при равномерно распределенной нагрузке.

Из рисунка видно, что усилия моментного типа (, , , , ) быстро убывают по мере удаления от края: имеет место краевой эффект.

В средней части оболочки действуют только мембранные усилия (, , ), т. е. там существует безмоментное напряженное состояние. В узловых зонах развиваются главные растягивающие усилия, которые действуют по диагональным сечениям (рис. 6.22).

При расчете железобетонной прямоугольной в плане пологой оболочки двоякой кривизны нужно иметь в виду, что при равномерно распределенной нагрузке возможно появление трещин двух типов. Сквозные трещины могут развиваться ввиду наличия главных растягивающих напряжений по диагональным сечениям у углов. Трещины второго типа (2 на рис. 6.22, (а)) связаны с изгибающими моментами краевого эффекта и возможны на нижней поверхности оболочки.

Таким образом, в оболочке можно выделить приконтурную полосу, где на нижней поверхности действует растягивающие напряжения (рис. 6.22, (б)). Ширина этой полосы t зависит от параметра , причем для квадратной оболочки эта зависимость изображается графиком, приведенным на рис. 6.22, (в).

Оболочка должна быть запроектирована так, чтобы в процессе ее эксплуатации трещины не появлялись, или чтобы была ограничена ширина их раскрытия.

Рис. 6.21

Рис. 6.22