О НЕКОТОРЫХ ТОЧНЫХ И ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ

ТИПА НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ОДНОМЕРНЫХ СЛУЧАЯХ

1 , 2,

1Иркутск, 2Екатеринбург, Россия

В работе представлены одномерные краевые задачи для нелинейного параболического уравнения. Сделано обобщение результатов авторов, полученных ранее. Представлены и верифицированы новые точные решения в виде кратных степенных рядов, а также численные решения с помощью метода граничных элементов (МГЭ).

Уравнение типа нелинейной фильтрации в случае степенной зависимости коэффициента фильтрации от плотности имеет вид [1]

(1)

где - искомая функция (плотность), - время, - вектор пространственных координат. Это же уравнение описывает распространение тепла в пространстве, поэтому иногда в литературе называется «уравнением нелинейной теплопроводности» [2].

В случае, когда искомая функция зависит только от одной пространственной координаты, уравнение (1) приводится к виду

(2)

где - искомая функция (давление), - время, - пространственная координата; константа принимает значения 0,1,2 в случаях плоской, цилиндрической и сферической симметрии соответственно.

Для уравнения (2) рассматриваются следующие краевые условия

(3)

Можно видеть, что при краевых условиях (3) в момент времени при в уравнении (2) коэффициент перед старшей производной обращается в нуль, вследствие чего тип уравнения (который, вообще говоря, является параболическим) вырождается. Наличие указанной особенности приводит к тому, что решение задачи (2), (3) может иметь вид волны фильтрации (тепловой волны [1, 2]), распространяющейся по невозмущенному фону с конечной скоростью.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для задачи (2), (3) построено новое точное решение в виде сходящегося кратного степенного ряда вида

(4)

Из краевых условий имеем, что

,

причем выбор знака перед корнем определяет направление движения волны фильтрации (внутрь области, ограниченной поверхностью , или наружу). Последующие коэффициенты ряда (4), сумма индексов которых одинакова, определяются индукцией по при решении трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений, размерность которых с увеличением неограниченно возрастает. Сходимость рядов (4) доказывается методом мажорант. Показано, что построенное точное решение задачи (2) - (3) имеет вид волны фильтрации (см. выше).

Различные варианты задачи (2) - (3) ранее встречались в литературе [1, 2], однако в данной постановке, насколько известно авторам, она впервые рассмотрена в [3] (см. также [4]) для случая . Таким образом, настоящее исследование обобщает ранее полученные результаты авторов.

Численные решения МГЭ для представлены в работе [4]. Алгоритмы решения МГЭ задачи (2)-(3) для случаев при условии представлены в [6, 7]. В данной работе построены аналогичные алгоритмы решения при .

Построенные в работе точные и численные решения при различных краевых режимах сравниваются друг с другом и с другими точными решениями. На рис. 1 показано сравнение решения в виде отрезка степенного ряда (до 4 степени включительно) и решения методом граничных элементов при , , . На рис. 2. решение методом граничных элементов при , , сравнивается с точным решением

.

Рис. 1. Сравнение решений МГЭ и в виде ряда

Рис. 2. Сравнение решения МГЭ с точным решением (4)

Результаты сравнений показывают близость рассмотренных решений, а следовательно, эффективность построенных граничноэлементных алгоритмов.

Работа выполнена при частичной поддержке Программы президиума РАН № 15, проект № 12-П-1-1025.

Литература

1. . Избранные труды: Математика. Механика. М.: Физматлит. 2001, 576 c.

2. . Аналитическая тепловая волна. М.: Физматлит. 2001, 88 c.

3. , . О существовании и единственности решения одной краевой задачи для параболического уравнения типа нестационарной фильтрации // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54, № 2. С.97-105.

4. A.L. Kazakov and L. F. Spevak, Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equation with boundary conditions of a special form // Applied Mathematical Modelling 2013. Vol. 37. Iss. 10-11, pp. .

5. , Численное исследование нелинейного уравнения теплопроводности в случаях круговой и сферической симметрии // Вестник КГТУ им. . 2013. №3. С. 5-10.

6 . , , Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах // Труды института математики и механики УрО РАН. 2014. № 1. С. 119-129.