8 КЛАСС (2 ВАРИАНТ)
Задача 1. Разделить угол в 45о на шесть равных частей, пользуясь только линейкой и циркулем.
Решение. Справедливо равенство 45/6=7,5. Таким образом, необходимо построить угол в 7,5о. Построим угол в 30о. Для этого нарисуем равносторонний треугольник.
а) Отметим отрезок АВ.
б) Проведем окружности О1 и О2 радиуса АВ с центрами в точках А и В соответственно. Окружности пересекутся в точках С и С1. Треугольник АВС равносторонний по построению.
в) Угол АВС равен 60о. Разделим угол пополам, потом еще пополам получим угол в 15о. Полученный угол разделим еще раз пополам. Получим необходимый угол в 7,5о.
Задача 2. В этом году сыну и дочери столько лет, что произведение их возрастов в 7 раз меньше возраста отца. А через три года произведение их возрастов уже будет равно возрасту отца. Найти возраст отца, сына и дочери.
Решение. Пусть 
– возраст сына, 
– возраст дочери, тогда возраст отца равен 
. Через три года возраст сына будет 
, возраст дочери будет 
, а возраст отца будет 
, причем по условию будет выполнено равенство 
. Перепишем равенство в виде 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Таким образом, 
, 
(или наоборот), поэтому 
, 
и, значит, 
. То есть сейчас сыну и дочери 1 год и 3 года (или наоборот), а отцу – 21 год.
Задача 3. В равнобедренном треугольнике 
с основанием 
на стороне 
нашлась такая точка 
, что треугольники 
и 
также оказались равнобедренными. Найти углы треугольника .
Решение. Пусть угол 
, тогда по условию 
. С другой стороны, 
и 
, поэтому 
. Таким образом, в 
, 
. Следовательно, 
, откуда 
и, значит, 
, 
.
Задача 4. Докажите, что если в трехзначном числе 
цифры связаны соотношением b = a+c, то число делится на 11 (общий признак делимости на 11 не использовать).
Решение. Пусть это число 
. Подставляя b = a + c, получаем
100a + 10(a + c) + c = 110a + 11c = 11(10a + c),
что и требовалось.
Задача 5. Пятачок, Винни-Пух и ослик Иа после дождя пошли в лес за грибами. Пятачок первым собрал 
всех грибов и еще один гриб. Потом Винни-Пух собрал 
того, что осталось и еще один гриб. Наконец, ослик Иа собрал половину того, что осталось после Винни-Пуха и еще один гриб. Оказалось, что в лесу осталось три гриба. Сколько грибов было в лесу после дождя?
Решение. Пусть 
– число грибов в лесу после дождя, тогда по условию задачи Пятачок собрал 
грибов, тогда после него осталось 
грибов. Винни-Пух собрал 
грибов, поэтому после Винни-Пуха в лесу осталось
грибов. Наконец, ослик Иа собрал 
грибов, а после него осталось
грибов. По условию задачи это число равно 
. Получим уравнение
, откуда 
, 
,
.
