МАТЕМАТИКА
УДК 517.929
Разрешимость периодической краевой
задачи для уравнения типа Ван дер Поля
,
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Россия, Пермь, пр. Комсомольский, 29
mc@pstu.ru; 8(3
Рассмотрена периодическая задача для уравнения вида 
. Для случая ограниченной функции 
и 
получены достаточные условия существования решения.
Ключевые слова: уравнение Ван дер Поля; периодическая задача; существование решения.
В настоящей работе рассматривается периодическая краевая задача для уравнения
, (1)
, (2)
Уравнение (1) является уравнением "типа Ван дер Поля", так как, с одной стороны, является частным случаем уравнения Льенара, когда 
, а с другой стороны, является уравнением Ван дер Поля при 
. Уравнение (1) с 
возникает в современных математических моделях, в частности при моделировании микроэлектромеханических (MEMS) систем [1].
Определим следующие функциональные банаховы пространства: 
– пространство функций, суммируемых по Лебегу с квадратом на отрезке 
, с нормой 
; 
– пространство абсолютно непрерывных вместе с первой производной функций 
таких, что 
, с нормой 
. Символом 
обозначим подпространство
.
Пространство будем рассматривать и как гильбертово пространство 
со скалярным произведением
.
Согласованная со скалярным произведением норма 
является эквивалентной норме 
, причем справедливо неравенство 
.
Под решением задачи (1), (2) будем понимать такую функцию 
, которая почти всюду на удовлетворяет уравнению (1) и периодическим краевым условиям (2). Отметим, что периодическая задача (1), (2) на пространстве становится эквивалентной только уравнению (1).
Применяемая в статье техника исследования, основана на теореме о разрешимости квазилинейного операторного уравнения, доказанная в работе [2]. Для удобства чтения, приведем здесь формулировку этой теоремы.
Пусть 
– действительные банаховы пространства, 
– линейный ограниченный оператор с ядром 
и образом 
.
Рассмотрим квазилинейное операторное уравнение
, (3)
где оператор является фредгольмовым, 
– непрерывным, вообще говоря, нелинейным оператором.
В силу фредгольмовости оператора 
справедливы разложения 
, 
, причем 
изоморфно 
как подпространства одинаковой размерности. Изоморфизм между подпространством и ядром обозначим через 
.
Будем предполагать, что ядро 
оператора 
является гильбертовым пространством со скалярным произведением 
, причем 
, 
.
Проекторы на ядро и образ оператора обозначим 
и 
соответственно, и пусть 
– дополнительный проектор, т. е. 
.
Определим оператор (сужение 
на подпространство ) 
равенством 
.
Оператор 
определим как сужение оператора на подпространство . Этот оператор имеет правый обратный 
. Далее будем называть оператор обобщенно обратным к оператором [3].
Сформулируем теорему существования [2] решения квазилинейного операторного уравнения (3).
Теорема 1 [2]. Пусть выполнены условия:
1) существует такая константа 
, что неравенство
справедливо для всех 
и произвольных 
;
2) существуют константы 
такие, что выполнено неравенство 
для всех ;
3) 
.
Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение.
Периодическую задачу (1)–(2) будем записывать в виде операторного уравнения (3) с оператором , полагая 
,
, (4)
. (5)
Оператор 
, определенный равенством (4), является линейным ограниченным фредгольмовым оператором с ядром и образом
,
.
Ограниченные проекторы на ядро и образ оператора определим равенствами:
,
,
, 
.
Изоморфизм 
определим равенством 
, 
, а оператор 
равенством 
.
Лемма 1 [4]. Оператор имеет вид
,
и справедлива оценка 
.
Теорема 2. Пусть 
и выполнены условия:
1) существует такая константа 
, что 
для любого 
;
2)
,
где 
, 
.
Тогда задача (1)–(2) имеет хотя бы одно решение.
Доказательство. Оператор
,
где 
имеет вид
Интеграл 
в силу краевых условий (2).
Для произвольных 
оценим скалярное произведение
Таким образом, условие 1) теоремы 1 выполнено с константой 
.
Так как для любого 
справедливы неравенства
, 
,
где 
,
,
то
.
Следовательно, условие 2) теоремы 1 выполнено с константами 
.
Справедливость условия 3) теоремы обеспечивает выполнение условия 3) теоремы 1. Если учесть, что оператор , определенный равенством (5), вполне непрерывен, то все условия теоремы 1 выполнены. Это означает, что операторное уравнение (3) имеет решение, а следовательно задача (1)–(2) разрешима. Теорема доказана.
Список литературы
1. , Периодические решения уравнения Льенара, моделирующего микроэлектромеханические системы (MEMS) // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Прикладная математика и механика. 2012. № 10. C. 3–5.
2. , , О разрешимости квазилинейного уравнения с монотонным оператором // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. № 2 (98). С. 80–85.
3. , Элементы теории топологических нетеровых операторов: моногр. Челябинск, 19с.
4. , Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач // Изв. вузов. Математика. 1996. № 11. С. 14–22.
The solvability periodic boundary value
problem for equation of type of Van der Pol
A. R. Abdullaev, A. A. Savochkina
State National Research Politechnical University of Perm, Russia, Perm, Komsomolskyi pr., 29
mc@pstu.ru; 8(3
Periodic problem for equation of type is considered. For case, when is bounded and sufficient conditions of existence of solution are given.
Key words: equation of Van der Pol; periodic boundary value problem; existence of solution.
© , , 2013
