УДК 519.1+621.3

ИНТЕРВАЛЬНЫЙ СУПЕРПОЗИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОНЕЧНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ В ИССЛЕДОВАНИИ ЭНЕРГОСИСТЕМ

,

Россия, Липецк, ЛГТУ

Представлены математические основы применения методов анализа конечных изменений, тесно связанного с интервальным анализом, к зависимостям суперпозиционной структуры. Рассмотрены простейшие примеры. Результаты могут быть перспективны в исследовании энергосистем.

Ключевые слова: анализ конечных изменений, интервальный анализ, суперпозиционные модели, исследование энергосистем.

Mathematical foundations are presented of application of finite fluctuations analysis methods, closely connected with interval analysis, to dependences of superposition structure. Simplest examples are considered. Results may be perspective in investigation of power systems.

Key words: finite fluctuations analysis, interval analysis, superposition models, investigation of power systems.

В работе [1] представлены основы применения методов анализа конечных изменений в исследовании чувствительности математических моделей энергосистем к изменениям входов и параметров. В основе этих методов, ориентированных на ситуации, когда изменения не малы, но конечны, лежит теорема Лагранжа из математического анализа [2], известная также как дифференциальная теорема о среднем значении и теорема о промежуточной точке. Промежуточная точка лежит в интервале изменения исследуемой величины. Этим определяется связь анализа конечных изменений с интервальным анализом [3]: именно на теореме о среднем основано систематически используемое в интервальном анализе MV-представление интервальных функций (от MV – mean value – среднее значение). При исследовании энергосистем, как и многих других технических объектов и технологических процессов, математические модели различных зависимостей имеют суперпозиционную структуру, когда итоговая величина является сложной функцией от первичной, зависит от неё через некоторую промежуточную величину. Систематическое исследование таких зависимостей проведено в работе [4] применительно к актуальной прикладной области – нейроструктурному моделированию; как указано в [5], такие модели могут служить перспективным математическим обеспечением автоматизированных систем управления энергосбережением (в [1] приведен простейший пример такой модели).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Цель данной работы – представить математические основы применения методов анализа конечных изменений к зависимостям суперпозиционной структуры.

Пусть зависимость моделируется функцией одного переменного . В соответствии с теоремой о промежуточной точке её приращение Dу, отвечающее приращению аргумента Dх, представляется в виде

, (1)

где промежуточная точка , вообще говоря не единственная, принадлежит интервалу . Данная теорема не даёт в общем случае способа отыскания промежуточной точки или, что равносильно, значений параметра ; однако во многих частных случаях (простейшие примеры приведены ниже) эти значения могут быть найдены путём решения относительно a, при заданных х и Dх, уравнения

(2)

Пусть – другая функция, пока не связанная с ; подобно предыдущему

. (3)

Пусть теперь функции связаны суперпозицией , так что z является сложной функцией от х; для неё так же

. (4)

Параметры a, b, g, вообще говоря, различны, но определённым, устанавливаемым ниже образом, взаимосвязаны между собой.

В соответствии с цепным правилом дифференцирования сложной функции [2]

. (5)

Это позволяет представить (4) в виде

. (6)

С другой стороны, подстановка (1) в (3) приводит к представлению того же приращения Dz в виде

. (7)

Сопоставление соотношений (6) и (7) с учётом того, что они должны выполняться при любых Dх, приводит к следующей взаимосвязи между значениями параметров a, b и g :

. (8)

При a=b=g=0 левая и правая части этого соотношения совпадают с (5); при других значениях параметров они различаются. Иллюстрацией могут служить следующие простейшие примеры.

Пусть , так что , , откуда a=1/2. Следует отметить, что в данном случае значение параметра a единственно и не зависит от х и Dх. Пусть ; как и в предыдущем случае, b=1/2. Пусть теперь , так что , , откуда или

;

в этом случае значение параметра g уже зависит и от х, и от Dх. Соотношение (8) принимает вид

или, после преобразований,

.

Подстановка значений a=b=1/2 приводит к выражению

,

из которого выше было получено значение g, так что соотношение (8), связывающее значения параметров, выполняется.

Пусть , так что , , откуда . Следует отметить, что в данном случае значение параметра a зависит только от Dх и не зависит от х. Пусть , так что , , откуда и зависит как от у, так и от Dу. Пусть теперь , так что , , параметр g не определён; параметр b при этом может быть представлен в виде . Соотношение (8) принимает вид

и связывает только параметры a и b. Подстановка значения каждого из них приводит к выражению, из которого выше было получено значение другого, так что соотношение (8), связывающее значения параметров, выполняется.

Пусть , так что ,

, .

Пусть , b=1/2. Пусть теперь , как и в предыдущем примере. Соотношение (8) принимает вид

или

.

Его выполнение проверяется аналогично предыдущему.

Направлением дальнейших исследований является изучение перспективности применения изложенной методики к конкретным зависимостям, возникающим при исследовании энергосистем и имеющим суперпозиционную структуру.

Работа поддержана МОН РФ в рамках перечня НИР базовой части Госзадания в сфере научной деятельности, проект № 000.

Список литературы

1. Блюмин, математических моделей энергосистем к конечным изменениям входов и параметров [Текст] / , , // Энерго- и ресурсосбережение XXI век: Материалы XI Междунар. науч.-прак. Интернет-конф. – Орёл: Госуниверситет-УНПК, 2013. – С. 86-89.

2. Ильин, анализ [Текст] / В. А. Ильин, , . – М.: Изд-во МГУ, 1987. – 662 с.

3. Шарый, интервальный анализ [Текст] / . – Новосибирск: Изд-во XYZ, 2013. – 606 c.

4. Сараев, линейно-нелинейное нейроструктурное моделирование: дис. … д-ра техн. наук [Текст] / . – Липецк. гос. техн. ун-т.– Липецк, 2013.–280 с.

5. Блюмин, математическое обеспечение автоматизированных систем управления энергосбережением [Текст] / , , // Энерго - и ресурсосбережение XXI век: Материалы IX Междунар. науч.-прак. Интернет-конф. – Орёл: «Картуш», 2011. – С.262-265.

, д-р ф.-м. наук, проф., Липецкий государственный

технический университет, профессор кафедры прикладной математики,

г. Липецк, ул. Московская, д. 30, slb@stu.lipetsk.ru , (4742)307934

, д-р техн. наук, доц., Липецкий государственный

технический университет, декан факультета автоматизации и информатики,

заведующий кафедрой автоматизированных систем управления,

г. Липецк, ул. Московская, д. 30, psaraev@yandex.ru , (4742)328002