Тема: Первісна та її властивості. Невизначений інтеграл

ТЕМА: Первісна та її властивості.

Невизначений інтеграл.

МЕТА: формування поняття первісної функції та її властивостей,

поняття невизначеного інтеграла, знання таблиці первісних,

правила знаходження невизначеного інтеграла.

ЛІТЕРАТУРА:

1. Алгебра і початки аналізу: Підр. для 10-11 кл. середн. шк. /, і інш. - К.: Просвіта, 1994, р.7. п.26 – 28,

с. 179 – 187.

1. Математика: Підручник / єва, . – К.: Вища школа, 2001.- р.7, п. 1.1 – 1.2, с.279 – 287.

ПЛАН

1. Поняття первісної функції.

2. Основна властивість первісної.

3. Поняття невизначеного інтеграла.

4. Таблиця первісних.

5. Правила знаходження первісних.

1. При вивченні теми «Похідна» ми розв’язували задачу про знаходження швидкості прямолінійного руху по заданому закону зміни координати

матеріальної точки. Миттєва швидкість дорівнює похідній функції , тобто .

У практиці зустрічається обернена задача: по заданій швидкості руху точки знайти пройдений нею шлях , тобто знайти таку функцію , похідна якої дорівнює . Дана функція є первісною функції .

Наприклад:

Знайти первісну функцій: , .

Це функції , бо …

____________________________________________________________

ОЗНАЧЕННЯ. Функція називається ПЕРВІСНОЮ функції на деякому

проміжку, якщо для всіх x із цього проміжку виконується

рівність: .

2. Розглянемо функцію Доведемо, що функції є первісними функції .

Дійсно,

Взагалі будь-яка функція де С – постійна, є первісною функції Це випливає з того, що похідна постійної дорівнює 0.

____________________________________________________________

ТЕОРЕМА. Якщо - первісна функції на деякому проміжку,

то існує нескінченна кількість первісних для на цьому

проміжку і всі вони мають вигляд де С – довільна

стала.

Основна властивість первісної має простий геометричний зміст: графіки будь-яких двох первісних функцій можна отримати один з другого паралельним перенесенням вздовж осі ординат ( мал. 118, с. 183,К).

3. ОЗНАЧЕННЯ. Нехай функція має на деякому проміжку первісну.

Сукупність усіх первісних для функції на проміжку

називають НЕВИЗНАЧЕНИМ ІНТЕГРАЛОМ цієї функції і

позначають

Функцію називають підінтегральною функцією.

Отже,

НАПРИКЛАД.

Однією з основних задач інтегрального числення є знаходження для даної функції всіх її первісних, якщо вони існують.

4. Користуючись таблицею похідних, можна скласти таблицю первісних (таблицю невизначених інтегралів).

ТАБЛИЦЯ ПЕРВІСНИХ ( НЕВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ)

ФУНКЦІЯ	Загальний вигляд первісних	Невизначений інтеграл
0
1
()

5. При знаходженні первісної користуються такими її властивостями (правилами) (с. 186, К):

· Якщо F – первісна для f, а G – первісна для g ,

то F+G – первісна для f+g.

· Якщо F – первісна для f, а k – cтала, то k F – первісна для k f.

· Якщо є первісною для , а k і b сталі, причому , то є первісною для функції .

ВПРАВА 1.

Доведіть, що функція є первісною для функції на вказаному проміжку:

а) ;

б) ;

в) .

ВПРАВА 2.

Знайдіть всі первісні для функції:

а)

б)

в)

г)

д)

ВПРАВА 3.

Знайдіть інтеграли:

а)

б)

в)

г)

ВПРАВА 4.

Знайдіть первісні для функції:

а)

б)

в)

г)

ВПРАВА 5

Знайдіть інтеграли:

а)

б)

в)

ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ.

Знайдіть інтеграли:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж) .

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ.

№ 000, 343, с. 188, К,

Додатково № 000, с. 188, К,