Ціноутворення векселів в перехідний період

УДК 519.21

ЦІНОУТВОРЕННЯ ВЕКСЕЛІВ В ПЕРЕХІДНИЙ ПЕРІОД

Я. І.Єлейко, Б. І.Копитко,

Львівський національний університет імені Івана Франка

вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: *****@***

В даній статті визначається ціна дисконтованого векселя (з певними властивостями), які приймаються за номіналом в сплату за товар в залежності від об’єму еміссіі, суми одноразового платежу, безризикової ставки, терміну платежу. Крім того обчислено облікову ставку верселів в залежності від змін економічного становища.

Ключові слова: дисконт, векселі, ціноутворення, безризикова ставка, відсоток.

Визначимо ціну дисконтних векселів, які приймають за номіналом для оплати за товар, залежно від об’єму випуску, суми платежів за товар, безризикової ставки відсотка і терміну платежу.

Розглянемо векселі, що мають такі властивості:

1. векселі приймають для оплати за товар за номіналом незалежно від терміну платежу за цим векселем від усіх векселетримачів без обмеження;

2. векселі оплачує векселетримач через визначену кількість днів після пред’явлення , однак не раніше терміну платежу;

3. векселі, які приймають для оплати за товар, відразу повертають кредиторам товару або підприємству, що випустило вексель;

4. векселі вільно обертаються на ринку за ринковими цінами.

Для визначення ціни дисконтного векселя p(t) зазвичай використовують формули

p(t) = 1/(1+ r(T - t))

або

p(t) = exp{r(t – T)},

де r – ставка відсотка (у другому випадку така, що безперервно начислюється); Т – дата платежу. Для простоти тут та далі приймаэмо, що вексельна сума дорівнює 1. Нехай, крім цього, ринкова ставка відсотка не залежить від часу.

У цьому випадку ці формули не придатні, бо векселі йдуть для оплати за товар. Тому необхідно з’ясувати вплив, який має функція оплати за товар, на ціну векселів.

Нехай, вексель можна пред’явити до оплати лише в день Т. Якщо платоспроможність векселедаваця не є сумнівною, то ціна векселя з урахуванням неперервного реінвестування

p(t) = exp{r(t – T)} q(T – t),

де функція Хевісайда

і вказує на ту обставину, що після часу Т вексель втрачає цінність.

Якщо платоспроможність векселедавача є сумнівною, то існує ймовірність Р платежу за векселем. Тоді ціна векселя

p(t) = P exp{r(t – T)}q(T – t).

Нарешті, якщо існує набір дат Ті, в які і тільки які може бути платіж за векселем з імовірністю Рі, то ціна векселя

Можливість сплати за товар векселем до настання терміну платежу в розмірі вексельної суми для векселетримача рівносильна достроковому погашенню векселя за номіналом. Це справедливо лише тоді, коли нема інших способів оплати за товар, крім векселів або грошами (наприклад, бартер).

Для спрощення приймемо, що цей випуск векселів – єдиний. Отже, об’єм векселів, що є в обігу, сталий до настання терміну платежу (властивість 3).

Нехай оплачують векселями деякі товари (у нашому випадку періоди між платежами будуть різні). Розглянемо вплив використання векселів для оплати товарів на ціну векселів.

Нехай оплату за товари можна виконати до моменту часу Т (час погашення векселя) протягом часу t=Т-t.

Функція розподілу моменту часу t має вигляд F(t) = P(T<t)=1-exp{-rt}, де r (інтенсивність відмови) – відсоткова ставка.

Нехай до моменту погашення векселя за товари платять m разів через проміжки часу tі, де і=1,…,m-1.

І вважатимемо, що перший платіж відбувається в момент часу t1. Для спрощення приймемо t1=0, тоді другий – у момент часу t2=t1+t1, останній платіж – у момент часу tm=t1+t1+…+tm-1, де tm<T. Отже

Нехай об’єм емісії n, сума одноразового платежу за товар – Ni, i=1,…,m. Тоді ціна векселя в будь-який момент часу t

Розглянемо перший доданок

Величина Ns/n – ймовірність використання векселя в момент часу ts для сплати суми Ns.

дисконтується лише до настання строку платежа Т. Величина exp{r(t-T)} – фактор дисконтування.

Легко бачити, що ймовірність виразу

Можливо оплачувати товар однаковими сумами, тоді Ni=N.

Прийнявши х=1-N/n, отримаємо:

Якщо n=N, то x=0, отже, р(t)=exp{rt}. Сенс останньої формули полягає в такому: якщо обсяг вексельної емісії і сума разових платежів сбігаються, то вексель піде на оплату першої суми за товар.

Отже, отримані формули дають змогу прогнозувати ціну векселів у їхнього разового випуску.

В умовах перехідної економіки відбуваються досить часті зміни економічної ситуації, що впливає на облікування векселів. Зокрема, чим стабільніша економічна ситуація, тим менша облікова ставка, і тим вигідніше віддавати векселі в банк. Спробуємо знайти закономірності в обчисленні облікової ставки векселів за умови перехідної економіки.

Надалі вважаємо, що ціна дисконтного векселя

p(t) = exp{r(T-t)}.

Через x(t) позначимо ринкову ситуацію в момент часу t , яку вважатимемо сприятливою, несприятливою і байдужою.

Тоді

p(t) = exp{r(x(t))(T-t)}

Вважатимемо надалі x(t) марківським процесом з заданою вище кількістю станів та дискретним часом t. Траєкторії його неперервні справа (див. рисунок)

x(t)

x(t1) x(t3)

x(0) x(t2) x(t4)

….

t1 t2 t3 t4 T t

Якщо час погашення векселів Т дуже великий, то згідно з ергодичною теоремою для марківських процесів [1]

Тоді

Розглянемо модельний приклад, на підставі якого з’ясуємо, як поводиться облікова ставка в умовах перехідної економіки.

Використовуватимемо ланцюги Маркова з дискретним часом, оскільки зміна станів відбувається в будь-які випадкові дискретні моменти часу.

Через А1 позначимо подію перебування системи в сприятливому стані; А2 – у несприятливому; А3 – у байдужому. Згідно з експертною оцінкою, якщо до моменту Т погашення векселя ситуація в середньому змінюватиметься n разів, тоді сприятливий стан буде наставати в середньому i разів, несприятливий – j разів, а байдужий – n-i-j разів. Отже, ймовірність того, що початковий стан буде

Згідно з нашими припущеннями матриця переходу із стану в стан за один крок буде мати вигляд

можна знайти матрицю переходу із стану в стан за n кроків.

Згідно з експертною оцінкою, якщо до моменту погашення векселів ринкова ситуація в країні змінювється 30 разів (n=30), то сприятливою вона буде 12 разів (i=12), несприятливою – 8 разів (j=8), байдужою – 10 разів ((n-i-j)=10). У цьому разі облікова ставка протягом часу перебування в сприятливому стані дорівнює r1, у несприятливому - r2 , у байдужому – r3. Тоді матриця переходу набуде такого вигляду.

З’ясуємо, на якому кроці ситуація стабілізується.

Отже бачимо, що на п’ятому кроці ситуація стабілізувалася.

Знайдемо ергодичний розподіл р1, р2, р3. Для цього, використовуючи рівність Маркова, необхідно розв’язати систему рівнянь

Підставимо числові значення і розв’яжемо систему, враховуючи, що pi>0

Отриманий результат ідентичний до підрахунків, виконаних за допомогою матриць переходу до стабільного стану.

З ергодичної теореми [1] випливає, що для неперервних справа ланцюгів Маркова з одним класом рекурентних станів, із ймовірністю 1

І в нашому випадку ланцюг Маркова складається з одного класу станів:

Якщо r1=1,15; r2=1,1; r3=1,03, тоді r0 буде рівне 1,09669. За цією відсотковою ставкою можно наближено обліковувати вексель.

1. Элементы теории вероятностей и случайных процессов. Киев: Вища школа, 1980.

Resume title

Y. I.Yeleyko, B. I.Kopytko, R. T.Hrishchuk

Ivan Franko National University In Lviv

Universytetska str, 1, Lviv, 79000, e-mail: *****@***

(Ivan Franko National University In Lviv

Universytetska str, 1, Lviv, 79000)

During a spelling of work the following researches are carried spent:

The price of the discount bills (with the certain properties) is determined which are accepted at face value in payment for the goods, depending on volume of release, sum of payments for the goods, risk-free rate, interest and term of payment. The laws in calculation of the discount rate of the bills of the various companies if market situation change.

Key words: discount; bills; payment; goods; risk-free rate; interest

Стаття надійшла до редколегії 15.11.2002

Прийнята до друку

© Єлейко Я. І., І., , 2002