9. Метод граничних елементів.
Для розв’язку ряда задач достатньо визначити шукані величини тільки на межі досліджуваної області, що знижує розмірність розглядуваних задач.
Одним з найбільш широко використаних чисельних методів, що дозволяють вирішити дану проблему, є МГЕ, суть якого полягає у слідуючому.
Нехай U0 – точний розв’язок рівняння Лапласа на області 
, (2.1)
що задовольняє граничним умовам.
(2.2)
(
– повна межа розглядуваної області 
).
Точний розв’язок U0 може бути знайдено тільки для небагатьох (до того ж простих) випадків, тому, як правило, розв’язок треба апроксимувати. Отже, отримаємо наближений вираз для функції U, тобто розв’язок, підстановка якого в (2.1) і (2.2) порушить указані рівності:
(2.3)
де 
.
Таким чином, для розглядуваної області 
та її межи можна визначити функції помилок
(2.4)
Тепер головне завдання – зробити ці помилки якнайменшими як у розглядуваній області, так і на межі. Для цього розподілимо функцію помилок наступним чином згідно з [1]:
, (2.5)
де 
– вагова функція;
. (2.6)
Співвідношення (2.5) можна записати в іншому вигляді, використовуючи вираз (2.4):
. (2.7)
Вагова функція 
– повинна бути неперервною разом зі своїми другими похідними та задовольняти рівнянню
(2.8)
на всій площині .
Інтегруючи співвідношення (2.7) два рази за частинами та враховуючи (2.8), отримаємо
. (2.9)
Тут 
і 
– шукані, а 
і 
– задані.
Якщо контур 
розбити на скінчене число граничних елементів K1+K2, тобто
,
причому на кожному елементі Ui і qj вважаємо постійними 
, то рівняння (2.9) матиме вигляд
. (2.10)
В якості вагової функції розглянемо фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа
. (2.11)
Оскільки рівняння (2.10) однорідне, коефіцієнт перед логарифмом можна відкинути. Координати джерела 
обираємо не на контурі, а на відстані 
на зовнішній нормалі, де d – довжина елемента.
Координати джерела можна обчислити за формулами
(2.12)
Підставляючи вагову функцію (2.11) у (2.10), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, коефіцієнти якої є криволінійні інтеграли першого роду, обчислювані для кожного елемента.
Для обчислення значення U у внутрішній точці i області 
використовується співвідношення [1]
, (2.13)
яке зв’язує значення функції U в точці i зі значенням q і U на межі 
.
У формулі (2.13) 
– задані, q, U – знайдені величини, а 
– фундаментальний розв’язок (2.11), в якому за джерело 
береться внутрішня точка 
.
Примітка. Для визначення 
і 
, де n – нормаль до кола, можна отримати формули для двох випадків.
1. Коли нормаль направлена до центру кола, рівняння кола 
(тут (a, b) – координати центру, R – радіус кола) перепишемо у вигляді
;
знаходимо
складемо допоміжну функцію
.
Тоді
2. Якщо нормаль направлена від центру, рівняння кола запишеться
Подальші міркування аналогічні наведеним у п. 1.
Отримаємо
Приклад 2.1. Розглянемо задачу теплопровідності для контура (мал. 2.1), де на сторонах L1, L2, L4, L5 – задана температура, а на сторонах L3, L6 – задано тепловий потік.
Математична формуліровка задачі має
вигляд
y
2 L2
L3 L1
1 L4 L6
0 1 L5 3 4 x
Мал. 2.1
Тоді за контур 
приймаємо суму L1+L2+L4+L5, а за контур 
- суму L3+L6 . Граничне рівняння має вигляд
(*)
Враховуючи
,
отримаємо
;
Враховуючи отримані формули, маємо
У формулі (*) інтеграли – це криволінійні інтеграли першого роду, тобто для їх обчислення необхідно перейти до функції однієї змінної, а межі інтегрування завжди мають бути від меншої до більшої, незалежно від напрямку контура. У цьому випадку граничне рівняння буде мати вигляд
(2.14)
Тут U3, U6 – шукані значення температури на ділянках L3, L6; q1, q2, q4, q5 – шукане значення потоку на ділянках L1, L2, L4, L5.
Випишемо рівняння ділянок контура та координати джерел:
для 
для 
для 
для 
для 
для 
Використовуючи (2.11), випишемо вагові функції для кожної ділянки контура:
(2.15)
Підставляючи вагові функції (2.15) послідовно у (2.14), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь.
Наприклад, для
маємо
Інтеграли обчислюються за допомогою програмного забезпечення Mathcad.
Аналогічно знаходимо значення інших інтегралів:
I12=1,915q2; I13= -0.284U3; I14=1.729q4; I15=3.946q5; I16=1.107U6;
I17=1.448; I18=0.64; I19=0.157; I1 10= -1.884; I1 11= -0.017.
Сума І17+І18+І19+І1 10+І1 11 – є вільним членом першого рівняння системи.
Таким чином, визначені коефіцієнти першого рівняння.
Виконавши ті ж самі дії для 
,
отримаємо систему рівнянь
Розв’язавши цю систему за допомогою програмного забезпечення Mathcad або методом Гауса на ЄОМ, отримаємо
(2.14)
Для обчислення значення U у внутрішній точці 
скористаємося формулою (2.13):
.
Координати точки Р використовуємо в якості координат джерела. Тоді вагова функція
Згідно з (2.14) співвідношення (2.13) для даної задачі запишеться у такому вигляді
або
. (2.16)
У (2.16) підставимо вагову функцію 
та її частинні похідні і обчислимо інтеграли за допомогою програмного забезпечення Mathcad.
Примітка. Розв’язок даної задачі можна перевірити методом поділення змінних. Достатня кількість однорідних граничних умов дозволяє використати цей метод.
