Застосування диференціала до наближення обчислень

Застосування диференціала до наближення обчислень.

1. Диференціал функції

Означення диференціала функції. Відповідно до означення похідної функції в точці маємо

.

Використовуючи властивість границі, рівність (1) можна записати у вигляді

,

Де при . Отже,

. (2)

З формули (2) випливає: якщо функція має похідну в точці , то приріст цієї функції в складається з двох доданків. Нехай . Тоді перший доданок у формулі (2) пропорційний , бо не залежить від , тобто лінійний відносно .

Оскільки , то перший доданок – нескінченно мала при , причому така, що відношення знову нескінченно мала при , бо .

Тому перший доданок при умові, коли , є головною частиною приросту функції в точці .

Означення. Якщо функція має в точці похідну , то добуток називається диференціалом функції у точці і позначається .

Отже, .

Врахувавши, що , визначимо диференціал через незалежну змінну як її приріст. Тоді дістанемо, що диференціал функції в точці визначають за формулою

.

Якщо функція має похідну в кожній точці інтервалу , то

. (3)

З останньої рівності випливає

,

Тобто похідна функції є частка від ділення диференціала цієї функції на диференціал аргументу. Формула (3) дає можливість обчислювати диференціали функцій, якщо відомі їхні похідні. Так, наприклад, , де с – стала,

Геометричний зміст диференціала.

Розглянемо диференційовану функцію , , графік якої є на рисунку.

З маємо

.

Оскільки і , то

Отже, .

Остання рівність має можливість дати таке геометричне тлумачення диференціала: якщо функція в точці , то диференціал функції в точці дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка цієї функції в точці з абсцисою , при переході від точки дотику в точку з абсцисою .

Зауваження. Легко помітити, що диференціал функції в точці, загалом, не збігається з приростом цієї функції в тій самій точці:

, бо .

Однак при малих значеннях приріст функції наближено дорівнює диференціалу функції, тобто . Це наближення широко використовують як у математиці, так і в її застосуваннях, бо воно дає можливість легко обчислювати приріст функції з невеликою похибкою. Геометрично заміна на означає заміну дуги кривої MN відрізком прямої МК. Отже, на невеликій ділянці зміни аргументу будь-яку нелінійну диференційовану функцію можна розглядати як лінійну.

На закінчення зазначимо, що диференціал лінійної функції збігається з її приростом. Справді,

,

,

Тобто

.

2. Наближені обчислення коренів.

З означення диференціала функції в точці х0 випливає, що

де

Отже, є наближенням у точці х0, причому абсолютна похибка такого наближення прямує до нуля при . Більше того, якщо , то відносна похибка також прямує до нуля при .

Усе сказане означає, що для диференційованої в точці х0 функції , при всіх досить малих Dх справджується формула

тобто (1)

Формула (1) э основою для найпростіших наближених обчислень.

Приклад 1. Нехай , xÎ.

Оскільки для х¹0

то, використовуючи формулу (1), дістанемо для х0¹0 і всіх досить малих Dх

Таким чином, для всіх досить малих Dх

(2)

Користуючись формулою (2) , обчислимо

Для обчислення також скористаємось формулою (2):

3. Наближені обчислення тригонометричних функцій.

Приклад 2. Нехай . Відомо, що Тому, використовуючи формулу (1), дістанемо для будь-якого і всіх досить малих Dх

Отже для всіх досить малих Dх

. (3)

Зокрема, при х0=0 з формули (3) дістанемо

для всіх досить малих Dх. Якщо у формулі (3) припустити, що , то дістанемо

для всіх досить малих Dх.

Користуючись формулою (3), обчислити

4. Наближені обчислення логарифмів.

Приклад 3. Якщо xÎ, то . Тому для х0>0 за формулою (1) для всіх досить малих Dх матимемо:

,

тобто

(4)

Зокрема, при х0=1 з формули (4) випливає

для всіх досить малих Dх.

Користуючись формулою (4), обчислити ln 0,97

Завдання для самостійної роботи

1. Обчислити наближено . Порівняти результат з табличним значенням.

2. Обчислити наближено .

3. Вивести формулу для наближених обчислень функції у = соsx і обчислити .