Использование гомотопического метода для непрерывных конечномерных векторных полей в пространствах любой размерности

УДК 517.988

Использование гомотопического метода для непрерывных конечномерных векторных полей в пространствах любой размерности

Пермский государственный университет, Россия, Пермь, ул. Букирева, 15

[e-mail]; (3

Сформулирована и доказана теорема общего характера об использовании метода гомотопий для произвольных конечномерных полей. Проанализированы условия теоремы.

Ключевые слова: нелинейный функциональный анализ; векторное поле; гомотопия; индекс Пуанкаре; особая точка.

Введение

В предыдущих статьях, например в статье [3], был описан метод гомотопических преобразований (метод гомотопий). Суть этого подхода состоит в том, что если векторные поля гомотопны на сферах достаточно малых радиусов с центром в их общей изолированной особой точке, то для этих полей индекс Пуанкаре этой точки равен одному и тому же целому числу.

Одним из существенных преимуществ использования метода гомотопий является то, что гомотопическая теория излагается одинаково в пространствах любой размерности.

Далее мы сформулируем и докажем теорему, с помощью которой можно сводить вычисление индекса изолированной особой точки a векторного поля Ф к вычислению индекса этой точки для векторных полей более простого вида. Эта теорема получена на основе материала, данного в пособиях [1] и [2].

Общая теорема

Теорема. Пусть выполнены следующие условия.

1. Для конечномерного непрерывного векторного поля Ф в некоторой окрестности точки а справедливо представление

Ф(z)=Фn(z)+Wn(z),где. (1)

2. a – изолированная особая точка векторных полей Ф и Фn.

3. На границе достаточно малых шаров с центром в точке a выполняется неравенство

(2)

для некоторого С > 0.

Тогда индексы точки a для векторных полей Ф и Фn равны:

.

Доказательство. Поскольку a  изолированная особая точка векторных полей Ф и Фn, то существует r1>0, при котором оба векторных поля Ф и Фn не имеют ненулевых особых точек во всех окрестностях B(a,r), где 0 < r < r1. Пусть неравенство (2) выполняется для всех шаров B(a,r), где 0 < r < r2, а в окрестности B(a,r1) справедлива формула (1), из которой следует, что . Поэтому при достаточно малых r (0 < r < r4) выполняется неравенство

.

Пусть теперь R = min(r1,r2,r3,r4). Тогда на границе любого шара B(a,r) выполнены все условия 1–3, следовательно, справедлива оценка:

.

По теореме Руше (см. [1]) векторные поля Ф и Фn на границе любого шара радиуса 0 < r < R гомотопны, поэтому их вращения равны:

.

Поскольку в рассматриваемых шарах нет особых точек векторных полей Ф и Фn,то

ind(a,Ф)=

= =ind(a,Фn).

Теорема доказана.

Замечание 1. Условие 1 теоремы выполнено, если векторное поле Ф с изолированной особой точкой θ имеет производную Фреше порядка n. Тогда поле Ф представимо по формуле Тейлора:

где , zn(∙) – оператор n-ой степени, – обозначение производной Фреше порядка n.

Замечание 2. При выполнении условия 1 векторное поле

Фn(z) =

является полиномиальным, что заметно упрощает вычисление индекса точки .

Замечание 3. Для проверки условия 3 нужно установить порядок вырождения n полиномиального векторного поля Фn.

В регулярном случае n = 1 и индекс определяется линейной частью по известной формуле .

В критическом случае для этого можно использовать, например, алгебраический метод (см. [2], [3]).

Для плоских векторных полей можно доказать, опираясь на идеи функционального анализа, утверждение: если векторное поле Фn с изолированной особой точкой θ имеет ненулевую вырожденную производную Фреше в точке θ и имеет место "неколлинеарный случай" (cм. [4]), то порядок вырождения n = 2.

Список литературы

1. , Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

2. , , Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

3. Вычисление индекса изолированной особой точки векторного поля // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 7(33). С.6–9.

4. Векторный подход к вычислению индекса Пуанкаре для изолированных нулей плоских векторных полей с вырожденной линейной частью // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2010. Вып.4(4). С.4–7.

Using the homotopical method for continuous finite-dimensional vector fields in the spaces

of arbitrary dimension

V. Yu. Mitin

Perm State University, Russia, Perm, Bukireva st., 15

[e-mail]; (3

The general theorem about using the method of homotopies has been formulated and proved. The conditions of the theorem have been analyzed.

Key words: nonlinear functional analysis; vector field, homotopy; the Poincaré index; singular point.

© , 2011