ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИ 
- ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ
, профессор; Козлова И.И., аспирант
Одной из величин, характеризующих поведение аналитической функции в окрестности бесконечной точки, является индикатор этой функции. Это понятие было введено Фрагменом и Линделефом [1].
Определение 1. Пусть 
- аналитическая функция внутри угла 
, 
- уточненный порядок [2]. Индикатором функции относительно уточненного порядка называется величина
При таком определении индикатора ничего о его свойствах, кроме тривиального 
, сказать нельзя. Следующая теорема восходит к Линделефу, ее доказательство можно найти в работе [2].
Теорема (Линделеф). Индикатор 
функции , аналитической и порядка внутри угла 
, удовлетворяет соотношению:
(1)
при 
и 
.
Неравенство (1) называется основным соотношением для индикатора.
Определение 2. Функция , заданная на отрезке и удовлетворяющая неравенству (1), называется тригонометрически - выпуклой на отрезке .
Некоторые свойства тригонометрически - выпуклых функций можно найти в [2]. Мы формулируем несколько новых утверждений для таких функций, которые играют важную роль при изучении поведения аналитических функций в окрестности бесконечности. Для удобства будем рассматривать случай 
, 
.
Утверждение 1. Если тригонометрически - выпуклая на интервале 
функция, то существуют конечные или равные 
пределы 
, 
.
Утверждение 2. Если тригонометрически - выпуклая на интервале функция продолжается как тригонометрически -выпуклая в точку 0 или 
, то 
или 
.
