Отдел образования Свислочского райисполкома ГУО «Средняя общеобразовательная школа №3 г. Свислочь»

Отдел образования Свислочского райисполкома

ГУО «Средняя общеобразовательная школа №3 г. Свислочь»

Крупчик Маргарита

Данильчик Анастасия

учащиеся 5 «А» класса

Научный руководитель:

,

учитель математик

2011 г.

Оглавление

1. Историческая справка 2 стр.

2. Простые, составные и сверхсоставные числа - 3 стр.

3. Совершенные числа. 4 стр.

4. Хорошие числа. 5 стр.

5. Числа-близнецы. Дружественные числа. 5 стр.

6. Особенные числа. 6 стр.

7. Симметричные числа. 11стр.

8. Заключение. 12 стр.

9. Литература. 13 стр.

1

1. Введение.

Число - важнейшее математическое понятие. Потребовалось несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело форму, которая в настоящий момент признается удовлетворительной подавляющим большинством математиков. На первых ступенях развития понятие число определялось потребностями счета и измерения¸ возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки. Понятие натурального числа, вызванное потребностью счета предметов, возникло еще в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Источником возникновения понятия отвлеченного числа является примитивный счет предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определенной совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы. Лишь на достаточно высоком интеллектуальном уровне было осознано, что у конкретных предметных групп "два камня ", "две птицы" и "две руки" есть нечто общее: "два". Абстрактные, отвлеченные числа позволяли сравнивать количество предметов в разнородных совокупностях, что имело важное значение при обменных операциях типа "раковина за орех".

Определение. Числа называются отвлеченными, если не указана ( не названа) единица счета или измерения, в результате которого получено это число. Совокупность отвлеченного числа и названия (обычно сокращенного) единицы счета или измерения называется именованным числом.

Значит, 3 – это отвлеченное число, а 3 штуки или 3 м (метра) – это уже именованные числа.

С развитием письменности возможности воспроизведения чисел значительно расширились. Сначала числа стали обозначиться черточками на материале, служащим для записи, (папирус, глиняные таблички и т. д.) Затем были введены другие знаки для больших чисел (римские цифры) в Вавилоне. Крупным шагом вперед было изобретение индийцами современной позиционной системы счисления, позволяющей записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа принимает все более отвлеченную форму, все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной. Формировался натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4 и т. д. Естественный инструмент счета - пальцы на руках - установил первый предел: десять. Принцип группировки по десять позволял охватывать все большие количества объектов, объединяя их в новые единицы счета: десять десятков - сотня, десять сотен - тысяча, дальше десяти тысяч обыденный разум не заглядывал. Так сформировалась десятичная система счисления. Она позволяла с помощью небольшого количества слов называть все встречающиеся числа: например, триста шестьдесят пять - это три сотни и шесть десятков и пять единиц.

2

Учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных числах и совершенных числах все связано с именем Пифагора. Пифагор Самосский (около 570-500до нашей эры)- древнегреческий мыслитель, основатель пифагореизма. Скудные сведения о жизни и учении Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих Пифагора как полубога, совершенного мудреца, наследника всей античной и ближневосточной науки, чудотворца и мага.

2. Простые и составные числа.

( учебник математики 6 класс,

Натуральное число называется простым числом, если оно имеет только два различных делителя: единицу и само себя. Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам, так как имеет только один делитель.

Как определить, является ли данное число простым или составным? Для этого нужно выяснить, имеет ли это число хотя бы один делитель, отличный от самого числа и единицы. Если такого делителя нет, то число простое, в противном случае оно составное.

Древнегреческий ученый Эратосфен, живший несколько позднее Евклида, предложил свой способ для составления таблицы простых чисел. Этот способ носит название « решето Эратосфена». В чем он заключается? Найдем, например, все простые числа 1 от до 20. Для этого выпишем все числа от 1 до 20 в один ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Далее будем вычеркивать числа, которые не являются простыми. В первую очередь вычеркнем 1, так как это не простое число. Потом вычеркнем всех четных чисел, кроме 2, его подчеркнем снизу. Подчеркнем 3 и вычеркнем всех чисел, кратных 3 ( которые остались не вычеркнутыми), и. д..

Большие заслуги в области изучения простых чисел принадлежат русским математикам.

1. () доказал, что между любым натуральным числом, вдвое большим данного( например, 2 и 4, 3 и 6, 10 и 20 и т. д.) всегда имеется хотя бы одно простое число.

2. () установил, что любое достаточно большое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чисел, например:

7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5 .

3

Задача. Эратосфен родился примерно в 276 г. до н. э. и умер примерно в 194г. до н. э. Какие годы, выраженные простыми числами, приходятся на период жизни Эратосфена?

Решение. Чтобы решить эту задачу, находим всех простых чисел, расположенных между числами 194 и 276. Для этого можно воспользоваться таблицей простых чисел или использовать (способ) решето Эратосфена. Итак, между числами 194 и 276 расположены числа: 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269 и 271. Всего 14 простых чисел.

Древнегреческий математик Евклид доказал примерно 2300 лет назад, что простых чисел бесконечно много, что наибольшего простого числа не существует.

Сверхсоставные числа.

( Книга «Я познаю мир»)

Человеку свойственно выискивать самое-самое во всем, с чем он имеет дело,

« Книга рекордов Гинесса» - тому подтверждение. А какое число самое большое? Такого числа нет, поскольку всякое число мы можем увеличить, прибавив к нему единичку.

Поищем чемпионов среди натуральных чисел по числу делителей. Меньше всего различных делителей у числа 1, всего один - сама единичка. У всех простых чисел по два делителя – само число и единичка. А у какого натурального числа больше всего делителей? Ясно, что такого числа нет, так как умножив натуральное число, скажем, на два, мы увеличиваем количество его различных делителей.

Сверхсоставным числом будем называть натуральное число, которое имеет больше делителей, чем каждый из больших его натуральных чисел.

Какое сверхсоставное число будет наименьшим?

Число 1 имеет ровно один делитель.

Числа 2 и 3 имеют ровно по два делителя, так как они простые.

Число 4 имеет три делителя.

Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6.

Казалось бы, что следующим должно идти число с пятью делителями. Наименьшее такое число 16, его делители 1, 2, 4, 8 и 16. Но его определило число 12, у которого шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Поэтому число 16 не стало сверхсоставным, а им стало число 12. Следующее число, являющееся сверхсоставным будет число 30 с восемью делителями.

Потом, 36, 40, 54, 56 все с восемью делителями, 48 с десятью делителями, число 60 имеет двенадцать делителей и только число 64 имеет ровно семь делителей, а значит числа 36, 40, 48, 54, 56 и 60 являются свехсоставными числами.

3. Совершенные числа.

Совершенным числом называют натуральное число, которое равно сумме делителей этого числа, меньших самого числа.

Пифагор (6 в до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом.

4

Например,

6 = 1 + 2 +3, где числа 1, 2 и 3 являются делителями числа 6.

28 = 1+ 2 + 4+7 +14, где числа 1, 2, 4, 7 и 14 делители числа 28.

496 = 1+ 2 +4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, где числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 являются делителями числа 496.

Пифагорейцы знали только первые трех совершенных чисел. Четвертое совершенное число- 8128 стало известно в 1 веке нашей эры. Пятое - было найдено в 15 веке нашей эры. К 1983 году было известно уже 27 совершенных чисел и все найденные совершенные числа являются четными числами. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

4. Хорошие числа. (Учебник математики 6 класс № )

Натуральное число будем называть хорошим, если оно делится на сумму цифр самого числа.

По определению хороших чисел все цифры от 1 до 9 являются хорошими числами. Самое меньшее двузначное число 10, так как оно делится на число, равное (1 + 0).

Следующим числом является 12, т. к. 12 ÷ (1 + 2), как уже мы доказали это же число является и сверхсоставным.

13 – не хорошее число, т. к. 13 не делится на (1+3);

14 - не хорошее число, т. к. 14 не делится на (1+ 4);

15 - не хорошее число, т. к. 15 не делится на (1+ 5);

16 - не хорошее число, т. к. 16 не делится на (1+ 6);

17 - не хорошее число, т. к. 17 не делится на (1+ 7);

18 - хорошее число, т. к. 18 делится на (1+ 8);

19 - - не хорошее число, т. к. 19 не делится на (1+ 9);

Хорошие числа: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50 и т. д.. Как мы видим, все хорошие числа являются составными числами, а некоторые даже сверхсоставными.

5. Числа близнецы. Дружественные числа.

К числу нерешенных до сих пор задач относится проблема "близнецов" - так называются простые числа, отличающиеся друг от друга на 2 (в первом десятке простых такими парами будут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19). Неизвестно, оборвется ли когда-нибудь этот список или же он бесконечен, как и ряд простых чисел.

5

Пифагор говорил: « Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Эти два числа замечательны тем, что сумма делителей каждого из них равна второму числу.

Действительно, делители числа 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 40, 44, 55 и 110,

делители числа 284: 1, 2, 4, 71 и 142.

220 = 1 + 2 + 4 + 71 +142, а

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 40 + 55 + 110.

Итак, числа 220 и 284 являются дружественными.

Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма (1Но в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256 – 1321) были найдены строки: « Числа 17являются дружественными. Аллах всеведущ».

А задолго до Ибн аль - Банны другой арабский математик Ибн Кура (836 – 901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа. Многие авторы после Ибн Куры изучали дружественные числа, но ничего не открыли.

Французский математик и философ Рене Декарт (1596 – 1650) в 1638 году нашел следующую пару дружественных чисел: 9363584 и 9437056.

После Декарта получил новые дружественные числа Леонард Эйлер (1707 - !783). Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа. В настоящее время известно 1100 пар дружественных чисел, найденных либо хитроумными способами, либо перебором на компьютере. Любопытно, что на долю компьютера в этом списке досталось совсем немного чисел - большинство из них было открыто математиками « вручную».

6а. Особенные числа (двузначные).

(Занимательная алгебра, , Чебоксары 1994, стр.116)

Числа 46 и 96 обладают любопытной особенностью: их произведение не меняет своей величины, если переставить их цифры.

Действительно,

46 × 96 = 64 × 69.

Требуется установить, существуют ли еще другие пары двузначных чисел с тем же свойством. Как разыскать их все?

6

РЕШЕНИЕ

Для разыскания решений составляем из 9 цифр все пары с равными произведениями:

1 × 4 = 2 × 2 2 × 8 =4 × 4

1 × 6 = 2 × 3 2 × 9 = 3 × 6

1 × 8 = 2 × 4 3 × 8 = 4 × 6

1 × 9 = 3 × 3 4 × 9 = 6 × 6

2 × 6 = 3 × 4

Всех равенств 9. Из каждого можно составить одну или две искомые группы чисел.

Например, из равенства 1× 4 = 2 × 2 составляем одно решение:

12 × 42 = 21 × 24.

Из равенства 1× 6 = 2 × 3 находим два решения:

12 × 63 = 21 × 36, 13 × 62 = 31 × 26.

Таким образом, разыскиваем следующие 14 решений:

12 × 42 = 21 ×× 96 =32 × 69

12× 63 = 21×× 63 =42 × 36

12 × 84 = 21×× 84 =42 × 48

13 × 62 = 31 ×× 93 = 62 × 39

13 × 93 = 31 ×× 86 = 43 × 68

14 × 82 = 41×× 84 = 63 × 48

23 × 64 = 32 ×× 96 = 64 × 69.

Доказательство: Пусть первое двузначное число 10x + y, а второе - 10z + t.

Цифры искомых чисел будут x , y, z, t,

Составляем уравнение

(10x + y) (10z + t) = (10 y + x) (10 t + z);

Раскрываем скобки

100xz + 10xt + 10yz + yt = 100yt + 10yz + 10xt + xz,

Упростим и получаем

xz = yt.

Исследуя произведения двузначных чисел, мы установили:

1. Среди чисел есть как простые, так и составные, и сверхсоставные числа.

2. При составлении двузначных чисел были использованы цифры: 1, 2, 3, 4, 6, 8

и 9. Нет в записи чисел цифры 5, 7, 0.

Таким свойством обладают двузначные числа. Мы искали среди трехзначных чисел, обладающих теми же свойствами.

7

6б. Особенные числа (трехзначные, четырехзначные и т. д.).

( мое исследование)

Работая в кружке « Юные дарования» мы продолжили изучение свойств, что произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифры и для трехзначных чисел. Первым делом постарались найти хотя бы одну пару трехзначных чисел, чтобы произведение этих чисел не меняло своей величины при перестановке их цифр. Действуя по тому же правилу, как для двузначных чисел, нам не удалось найти ни одну пару трехзначных чисел. Но желание найти таких чисел привело нас к желаемому результату. Первая пара трехзначных чисел была найдена мною, что произведение этих чисел равнялось произведению трехзначных чисел записанных в обратном порядке.

Вот эта пара: 211 × 224, потому что 211 × 224 = 112 × 422 то есть

47264 = 47264.

Чтобы получить первую пару трехзначных чисел, мне пришлось рассмотреть равные произведения разных множителей,

2 × 12 = 24× 1 (1)

Из чисел 2, 12, 24 и 1 составлена первая пара трехзначных чисел.

Вопрос: Можно ли из этих же чисел составить еще пары трехзначных различных чисел, обладающих теми же свойствами? Рассматривая всевозможные варианты, я убедилась, что другой пары трехзначных чисел не существует.

Отличие при составлении трехзначных чисел от двузначных состоит в том, что первое число составляется из первых множителей равенства (1), а второе число составляется из цифр вторых множителей, записанных в обратном порядке.

Имея такие открытия, я попробовала написать и вторую пару. Да, действительно, вторая пара нашлась уже быстро.

Вторая пара: 322 × 446.

Исследуя найденных пар трехзначных чисел, я выделила следующие особенности:

1. Первая цифра первого числа в два раза больше последней цифры второго числа.

2. Точно также последние две цифры первого числа в два раза больше первых двух цифр второго числа.

3. Первые две цифры первого числа в два раза больше последних двух цифр второго числа.

4. Самое важное: первое число в 2 раза больше второго трехзначного числа, записанного в обратном порядке.

Имея представление о парах трехзначных чисел, не меняющих произведение при перестановке цифр в обратном порядке. Я поставила задачу: найти всех таких пар трехзначных чисел. Для этого надо доказать общий принцип составления трехзначных чисел. Из - за недостаточности знания в области алгебры, в частности, умножение многочлена на многочлен, мне не удалось доказывать принцип составления трехзначных чисел. Но мне удалось найти и четырехзначных, и пятизначных чисел.

7. Симметричные числа.

Число называется симметричным, если существует прямая (или центр симметрии), переводящее это число в себя.

Рассмотрим всех десять цифр:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Цифра 8 имеет только вертикальную ось симметрии l и является симметричным числом относительно этой вертикальной оси (прямой). Цифра 0 имеет две оси симметрии, вертикальную и горизонтальную l и n, и один центр симметрии (этот центр – точка пересечения вертикальной и горизонтальной осей симметрии).

Цифры 8 и 0 являются симметричными, значит, все симметричные числа будут составлены из этих цифр. Самым маленьким и единственным двузначным числом является число 88. Осью симметрии числа 88 является прямая m, переводящая первую восьмерку на вторую.

Следующим симметричным числом является число 808, имеющее вертикальную ось симметрии p, вторым симметричным трехзначным числом является число 888.

Четырехзначные симметричные числа: 8008, 8888.

Пятизначные симметричные числа: 80008, 80808, 88088, 88888.

8. Заключение.

Изучению удивительных особенностей натуральных чисел нет конца. Мною была исследована ряд натуральных чисел, обладающих любопытными особенностями. Я рассмотрела простые и составные числа, сверхсоставные числа. Совершенные числа и хорошие числа. Числа-близнецы. Дружественные числа. Особенные числа. Симметричные числа. По ходу изучения данной темы мне удалось углубленно изучить школьные темы, как простые и составные числа. Ознакомиться сверхсоставными числами. Продолжить ряд совершенных чисел, рассмотренных на уроке математики.

Я ознакомилась особенными двузначными числами, то есть произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифры.

Мне удалось найти таких пар трехзначных чисел, не меняющих произведение при перестановке их цифр в обратном порядке. Составление пар трехзначных чисел отличается от составления пар двузначных чисел и имеет очень сложное доказательство общего вида составления трехзначных чисел. Так же мне удалось найти и четырехзначных, и пятизначных чисел.

К удивительным числам я еще внесла симметричные числа.

Изучая ряд натуральных чисел можно найти много особенностей натуральных чисел.

Думаю, что я в целом поставленные задачи выполнила и своей цели достигла, хотя очень много работы предстоит в будущем по этой теме.

Часто спрашивают: а зачем решать такие задачи? Какие полезные следствия вызовет, скажем, установление истины в проблеме о количестве простых чисел-близнецов? Подобные сомнения возникают в каждой области творческой деятельности человека ("Кому нужна т а к а я музыка, т а к а я живопись? Для кого пишутся т а к и е стихи?"). Оправдываясь, специалисты, работающие в теории чисел, обычно приводят слова Леонарда Эйлера (): "Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой великой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения проблем, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности". Как часто новые методы, новая техника, новая форма, возникшие при решении, казалось бы, частных задач, приводили науку на новый, более высокий уровень развития. Здесь останавливается наше движение по натуральному ряду. Не слишком ли много внимания мы уделили начальным шагам в математику? Ответом на это мог бы послужить известный афоризм немецкого математика Леопольда Кронекера (): "Бог создал натуральные числа, все остальное - дело рук человеческих".

Литература:

1. Изучаем математику. Фридман

« Просвещение», 19стр.

2. , За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5 -6 кл. сред. шк. – М :Просвещение, 1989. стр.77- стр. 98.

3. За страничками учебника алгебры. , Москва « Просвещение»19стр.

4. Занимательная алгебра. Перельман 19стр.

5. Задания для внеклассной работы по математике. . Минск « Народная асвета» 198стр.

6. Математика 6. , , Москва

« Просвещение» 1991.

7. Математика 6. Виленкин Москва « Просвещение»

8. Я познаю мир. , , . Москва «АСТ» 1стр.

9. Великие жизни в математике. . Москва

« Просвещение» 1995. - стр. 169.

10. www.miloqija2077.ru/ierarch2.htm

11. http://dss. *****

Попробуем найти все пары трехзначных чисел. Для этого составляем равные произведения из двух множителей, первым множителем которого является однозначное число, а вторым – двузначное и наоборот.

1) 20 = 2×10 = 20 × 1;

2) 21 = 3 × 7 = 21× 1, (другого разложения нет);

3) 22 = 2 × 11 = 22 × 1, (111 × 222 = 24642);

4) 23 – простое число;

5) 24 = 2 ×12 = 24 ×1, (211 × 224 = 112 ×422 = 47264), других решений нет;

6)

7) 26 = 2 × 13 = 26 × 1, (311 × 226 = 113 × 622 = 70286), других решений нет;

8) 27---

9) 28 = 2 × 14 = 28 × 1, (411 × 228 = 114 × 822 = 93708), других решений нет;

– простое число;

содержит цифру 0;

– простое число;

= 2 × 16 = 32 × 1, (161 × 232 = 161 × 232), других решений нет;

= 3 ×11 = 33 × 1, (111 ×333 = 111 × 333), других решений нет;

= 2 × 17 = 34× 1, (711 × 234

= 5 × 7= 35 × 1, (другого разложения нет);

= 2× 18 = 36× 1,

36 = 3 × 12 = 36× 1, (211 × 336 =112 × 633 = 70896), других решений нет;

простое число;

= 2× 19 = 38 × 1, (911× 238 ≠ 119× 832), т. к. не выполняются замеченные условия;

простое число;

содержит цифру 0;

простое число;

= 2 × 21 = 42 × 1, (121 × 242 = 121 × 242), других решений нет;

простое число;

= 2 × 22 = 44× 1, (221× 244 = 122 × 442), других решений нет;

= 3 × 15 = 45 × 1,

= 2 × 23 = 46× 1, (321× 246 = 123 × 642 = 78966), других решений нет;

простое число;

= 2 × 24 = 48 × 1, (421 × 248 = 124 × 842 = 104408),

48 = 2× 24 = 12 × 4, (424 × 212 = 424 × 212),

48 = 4 × 12 = 48 × 1, (211 × 448 = 112 × 844 = 94528), три решения;

= 7 × 7 ,

– исключение, т. к. содержит цифру 0;

= 3 × 17 = 51 × 1,

= 2 × 26 = 52 × 1, не составляется,

52 = 2 × 26 = 13 × 4, (624 ×213 = 426 × 312 =132912), ;.

52 = 4 × 13 = 52 × 1, не составляется;

простое число;

=2 × 27 = 54 × 1,

=5 ×11 = 55× 1, (111× 555);

= 2× 28 = 56× 1,

56 = 2× 28 = 14 × 4 (824 × 214 = 428 × 412),

= 3 × 19 = 57 × 1, не составляется

= 2 × 29 = 58× 1, не составляется

простое число;

41) 60– исключение, т. к. содержит цифру 0;

простое число;

= 2 × 31 = 62 × 1, (131 × 262 = 131 × 262),

= 3 × 21 = 63 × 1, (121× 363 = 121× 363),

= 2 × 32 = 64 × 1, (231 × 264 = 132 × 462)

64 = 4 × 16 = 64 × 1, (161 × 464 = 161 × 464),

64 = 2 ×32 = 16 × 4,

= 5 × 13 = 65 × 1

= 2 × 33 = 66 × 1, (331 × 266 = 133 × 662 =88046);

66 = 3 ×22 = 66 × 1, (221 × 366 =122 × 663 =80886);

66 = 6 × 11 = 66 × 1, (111× 666 = 111× 666),

простое число;

= 2 ×× 1, (431 × 268 = 134 × 862=115508),

68 = 4× 17 = 68 × 1.

Работая по такой системе, я нашла всего 29 пар трехзначных чисел.

Таким образом, мы можем найти трехзначных чисел, произведение которых не меняет своей величины при перестановке цифр чисел в обратном порядке, но этот способ, в отличие от двузначных чисел не дает возможность найти всех пар трехзначных чисел.

Например,

103 ×903 = 301 × 309 (эта пара отсутствует).

То есть, числа, содержащие цифру нуль в разряде десятков. Поэтому, изучая особенности таких найденных пар трехзначных чисел, мне удалось найти и другой способ отыскания таких чисел. Второй способ, по моему мнению, является лучшим, чем первый. Второй способ отыскания пар трехзначных чисел заключается в том, что первое трехзначное число может быть любым, но записанным с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 0 (0 используется только в разряде десятков), а второе число будет в несколько раз больше числа, равного числу, записанному в обратном порядке первого.

Натуральные числа

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер ( гг.). Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много». Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»…

Простые и составные числа

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей. Число 1 имеет только один делитель: само число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам. Первыми десятью простыми числами являются: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя. Произведение двух простых чисел может быть простым число, если одно из чисел равно 1, а другое является простым числом. Все простые числа, большие 2, нечетные.

Неразгаданная тайна простых чисел

Тайна простых чисел –это их распределение между остальными числами: произвольное, без какого-либо порядка. Простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Математики годами пытались найти этот порядок, но безуспешно. А отсутствие порядка означает, что простые числа нужно отыскивать одно за другим. Малые простые числа легко найти с помощью так называемого «Решета Эрастофена». В таблицу вписываем все числа до не включается: она не является простым числом). Вычеркиваем все четные числа, кроме 2. Затем вычеркиваем все числа, делящиеся на 3, кроме 3. Числа, делящиеся на 4, уже вычеркнуты, поэтому переходим к 5, затем к 7. Все оставшиеся числа (желтые клетки) – простые.

Простые числа называют кирпичами в построении математики, так как все остальные числа можно сформировать, перемножая простые. Например, 55 = 5 ×= 3 × 5 × 5 39 = 3 ×= 5 ×=13 ×– удивительное простое число. Можно удалить с его конца любое число цифр, и оставшееся число тоже будет простым. Это наибольшее известное число, обладающее таким свойством.

Удивительная закономерность

31 – простое 331 - простое 3331 - простое 33331- простое 333331 - простое 3333331 – простое Математики нашли несколько очень больших простых чисел. 23 августа 2008 года компьютеры отдела математики университета в Лос-Анджелесе (Калифорния) обнаружили гигантскоезначное простое число – 1, а несколько позже, 6 сентября 2008 года компьютер инженера-электрика Ханса Микаэла Элвенича из города Лангельфельда (Германия) открылзначное простое число Участники международного интернет-проекта, подключившие свои компьютеры к исследованию и поиску рекордных по величине простых чисел, получили крупное денежное вознаграждение от фонда Elektronik Frontiger Foundation (cайт www. mersenne. org). Числа, имеющие не менее трёх различных делителей, называются составными.

Сверхсоставные числа( Книга «Я познаю мир»)

Человеку свойственно выискивать самое-самое во всем, с чем он имеет дело, «Книга рекордов Гинесса» - тому подтверждение. А какое число самое большое? Такого числа нет, поскольку всякое число мы можем увеличить, прибавив к нему единичку. Поищем чемпионов среди натуральных чисел по числу делителей. Меньше всего различных делителей у числа 1, всего один - сама единичка. У всех простых чисел по два делителя – само число и единичка. А у какого натурального числа больше всего делителей? Ясно, что такого числа нет, так как умножив натуральное число, скажем, на два, мы увеличиваем количество его различных делителей. Сверхсоставным числом будем называть натуральное число, которое имеет больше делителей, чем каждый из больших его натуральных чисел. Какое сверхсоставное число будет наименьшим? Число 1 имеет ровно один делитель. Числа 2 и 3 имеют ровно по два делителя, так как они простые. Число 4 имеет три делителя. Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Казалось бы, что следующим должно идти число с пятью делителями. Наименьшее такое число 16, его делители 1, 2, 4, 8 и 16. Но его определило число 12, у которого шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Поэтому число 16 не стало сверхсоставным, а им стало число 12. Следующее число, являющееся сверхсоставным будет число 30 с восемью делителями. Потом, 36, 40, 54, 56 все с восемью делителями, 48 с десятью делителями, число 60 имеет двенадцать делителей и только число 64 имеет ровно семь делителей, а значит числа 36, 40, 48, 54, 56 и 60 являются свехсоставными числами. Взаимно простые числа

Натуральные числа, называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Числа-близнецы

Так называются простые числа, отличающиеся друг от друга на 2. В первом десятке простых чисел такими парами будут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 К числу нерешенных до сих пор задач относится проблема «близнецов». Неизвестно, оборвется ли когда-нибудь этот список или же он бесконечен, как и ряд простых чисел. Дружественные числа

Пара натуральных чисел, каждое из которых равно сумме собственных делителей другого, то есть делителей, отличных от самого числа. Определение дружественных чисел есть уже в «Началах» Евклида, в трудах Платона. Древним грекам была известна одна пара таких чисел: 220 и 284, суммы их делителей соответственно равны: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 =284 1+2+4+71+142= 220 Пифагор говорил: «Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Эти два числа замечательны тем, что сумма делителей каждого из них равна второму числу. Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма (1Но в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256 – 1321) были найдены строки: «Числа 17являются дружественными. Аллах всеведущ». А задолго до Ибн аль - Банны другой арабский математик Ибн Кура (836 – 901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа. Многие авторы после Ибн Куры изучали дружественные числа, но ничего не открыли. Французский математик и философ Рене Декарт (1596 – 1650) в 1638 году нашел следующую пару дружественных чисел: 9363584 и 9437056. После Декарта получил новые дружественные числа Леонард Эйлер (1Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа. В настоящее время известно 1100 пар дружественных чисел, найденных либо хитроумными способами, либо перебором на компьютере. Любопытно, что на долю компьютера в этом списке досталось совсем немного чисел - большинство из них было открыто математиками «вручную». Однако неизвестно, существует ли пара чисел, одно из которых четное, а другое нечетное.

Хорошие числа

Натуральное число будем называть хорошим, если оно делится на сумму цифр самого числа. По определению хороших чисел все цифры от 1 до 9 являются хорошими числами. Самое меньшее двузначное число 10, так как оно делится на число, равное (1 + 0). Следующим числом является 12, т. к. 12 делится на 1 + 2, как уже мы доказали это же число является и сверхсоставным. 13 – не хорошее число, т. к. 13 не делится на (1+3); 14 - не хорошее число, т. к. 14 не делится на (1+ 4); 15 - не хорошее число, т. к. 15 не делится на (1+ 5); 16 - не хорошее число, т. к. 16 не делится на (1+ 6); 17 - не хорошее число, т. к. 17 не делится на (1+ 7); 18 - хорошее число, т. к. 18 делится на (1+ 8); 19 - не хорошее число, т. к. 19 не делится на (1+ 9); Хорошие числа: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54 и т. д.. Как мы видим, все хорошие числа являются составными числами.

Совершенные числа

Совершенным числом называют натуральное число, которое равно сумме делителей этого числа, меньших самого числа. Пифагор (VI в до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, 6 = 1 + 2 +3, где числа 1, 2 и 3 являются делителями числа= 1+ 2 + 4+7 +14, где числа 1, 2, 4, 7 и 14 делители числа 28. Следующие совершенные числа - 496 = 1+ 2 +4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, где числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 являются делителями числа 496 Пифагорейцы знали только первые три совершенных чисел. Четвертое совершенное число - 8128 стало известно в 1 веке нашей эры. Пятое - было найдено в XV веке нашей эры. Совершенные числа тесно связаны с простыми числами Мерсена, то есть с числами вида 2m - 1. Еще Евклид установил, что число n = 2m-1 (2m - 1) является совершенным, если 2m - 1 простое число. К 1983 году было известно уже 27 совершенных чисел и все найденные совершенные числа являются четными числами. Первые 23 из этих чисел соответствуют значениям m : 2,3,5, 7.,7,13,17,19,31,61, 89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3271,4219,4423,9689,9941,11213,. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Треугольные числа Пифагор (IY век до нашей эры) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках они получили: - последовательность (а2) треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, … получается таким образом: 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5,…, - последовательность (b2) квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25, …. получается следующим образом: 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, 1+3+5+7+9,…,n2 - последовательность (c2) пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, … получается таким образом:1, 1+4, 1+4 +7, 1+4+7+10,4+7+10+13,…,

Числа-самородки Возьмем числа 5, 10, 11, 13, 17, 25,…. Все числа, кроме 5, сформированы по единому правилу. К числу прибавляется сумма его цифр. Так, 5+5=10, 10+1=11, 11+2=13, 13+4=17,… Все начинается с числа 5. Число 5 оказалось как бы самородком. Однозначные самородки обнаруживаются сразу 1, 3, 5, 7 и 9. Из двухзначных наименьшее 20, затем 31,… Есть коллекция «самородков» и среди многозначных чисел. Например, 132, 143, 233, 929, 1952 и т. д.

Симметричные числа

Число называется симметричным, если существует прямая (или центр симметрии), переводящее это число в себя. Если рассмотреть все десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, то можно заметить: Цифра 8 имеет только вертикальную ось симметрии l и является симметричным числом относительно этой вертикальной оси (прямой). Цифра 0 имеет две оси симметрии, вертикальную и горизонтальную, и один центр симметрии (этот центр – точка пересечения вертикальной и горизонтальной осей симметрии).

Цифры 8 и 0 являются симметричными, значит, все симметричные числа будут составлены из этих цифр. Самым маленьким и единственным двузначным числом является число 88. Осью симметрии числа 88 является прямая m, переводящая первую восьмерку на вторую. Следующим симметричным числом является число 808, имеющее вертикальную ось симметрии p, вторым симметричным трехзначным числом является число 888.

Четырехзначные симметричные числа: 8008, 8888. Пятизначные симметричные числа: 80008, 80808, 88088, 88888.

Заключение

Числа окружают нас и всячески помогают нам в наших делах. Они – инструмент для счёта. Без чисел мы не знали бы, какой сегодня день и который час. В наши дни числа везде, и они нужны нам всегда. Трудно представить, во что превратился бы мир, если бы у нас не было чисел! Число – основное понятие математики, сложившееся в ходе длительного исторического развития. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Потребность счёта предметов привела к возникновению понятия натурального числа. Все народы, обладавшие письменностью, владели понятием натурального числа. Существует большое количество определений понятия «число». Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Древнегреческий математик Пифагор так говорил о числе: «Число –это закон и связь мира, царящая над богами и смертными», «Сущность вещей есть число, которое вносит во всё единство и гармонию», «Всё есть число». В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей». Изучению удивительных особенностей натуральных чисел нет конца. Нашей группой был исследован ряд натуральных чисел, обладающих любопытными особенностями, рассмотрены простые и составные числа, сверхсоставные числа, совершенные числа и хорошие числа, числа-близнецы, дружественные числа, особенные числа, симметричные числа. В ходе изучения данной темы удалось углубленно изучить школьные темы, простые и составные числа. Мы познакомилась с особенными двузначными числами, у которых произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифры. К удивительным числам относятся симметричные числа. Изучая ряд натуральных чисел, можно найти много особенностей натуральных чисел. В целом поставленные задачи выполнены. Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число. Наша гипотеза оказалась верна, указать самое большое простое число, составное, совершенное, симметричное невозможно. При изучении данной темы удалось углубленно изучить школьные темы, простые и составные числа. Ознакомиться со сверхсоставными числами, с особенными двузначными числами, то есть произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифр. Новое к удивительным числам – эти хорошие и симметричные числа, числа-самородки. Здесь останавливается движение по натуральному ряду. Не слишком ли много внимания уделено начальным шагам в математику? Ответом на это мог бы послужить известный афоризм немецкого математика Леопольда Кронекера (): "Бог создал натуральные числа, все остальное - дело рук человеческих".

Содержание

Введение……………………………………………………...3

Удивительные числа

1. Числа простые………………………………………...4

2. Совершенные числа…………………………………..7

3. Дружественные числа………………………………...8

4. Палиндромы и репьюниты…………………………..10

Заключение …………………………………………………11

Литература…………………………………………………..12

Введение

Можно ли представить себе мир без чисел? Возьмите то, что мы делаем изо дня в день: без чисел - ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберешь. А космические корабли, лазеры и все другие технические средства и достижения. Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах. Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, числа измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы.

Самые древние по происхождению числа натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 6 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные, репьюниты.

В школе я провела исследование и выяснила, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. 26 из 34 опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше.

Объект исследования – натуральные числа.

Предмет исследования – свойства этих чисел.

Гипотеза:

Если простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

Цель исследования: Познакомиться с удивительными числами и установить роль простых чисел в изменении их свойств.

Задачи:

1. Описать способы поиска простых чисел.

2. Рассмотреть свойства совершенных и дружественных чисел.

3. Познакомиться с палиндромами и репьюнитами.

Метод исследования – теоретический.

1. Числа простые

Такие ли они «простые», эти простые числа?

Числа, которые имеют только два различных делителя, называются простыми. Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. Самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.

Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 и т. д. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа. Можно ли сосчитать все простые числа? Греческий геометр Евклид написал книгу «Начала», и одним из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.

Т. к. простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел: мы уже знаем, что наибольшего простого числа нет. Поэтому составление списка всех простых чисел столь же безнадежное занятие, как составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Над тем, как составлять списки, задумался живший в III веке до н. э. александрийский ученый Эратосфен. Это был удивительно разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло в науку именно в связи с придуманным им методом отыскания простых чисел. С «решетом Эратосфена» мы знакомились по учебнику. Рассмотрим несколько других интересных методов отыскания простых чисел. Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов (см. рис.).

Получим модель «решета» Эратосфена для отсеивания простых чисел. Все числа в кружочках – простые. Составные числа перечёркнуты. Систему проведения прямых, вычеркивающих составные числа, понять легко. Все простые числа от числа 5 и дальше свили себе гнёздышки только в 2 столбиках: в 4 и 6. Когда в какой-то строке 4 и 6 столбцов оба числа простые, то это пара «близнецов»: (5;7), (11;13), (17;19) и т. д.

Многие математики пытались вывести формулу для отыскания простых чисел. Живший в 17 веке во Франции математик Пьер Ферма думал, что он нашел такую формулу: р=22 +1. Действительно, при n=1,2,3,4 эта формула дает простые числа 5,17,257,65537. Но позднее обнаружилось, что при n = 5 получается составное число: оно делится на 641. До сих пор неизвестно, есть ли среди чисел Ферма еще хоть одно простое, кроме найденных им самим.

Еще одна из формул p = n2 - n+41. Для некоторых чисел эта формула верна, но не при n=41.

Итак, простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов. Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах, а мы воспользуемся простыми числами для отыскания удивительных чисел.

2. Совершенные числа

Делителем натурального числа называется такое число, на которое а делится без остатка.

Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, в точности равна п.

Например, число 6 имеет делители 1,2,3. Найдем их сумму: 1+2+3=6. Число 28 имеет делители 1,2,4,7,14. Их сумма: 1+2+4+7+14=28!

Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в., отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:

1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число?

2) Существует ли нечетное совершенное число?

До сегодняшнего дня не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа, хотя и не доказано, что такого числа не существует. Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. Испытав огромный массив последовательных натуральных чисел, исследователи нашли уже более 30 совершенных: 6, 28, 496, 8128, … Вот 25-е число: 244. В развёрнутой записи этого числа содержится 26790 цифр! Знакомясь с совершенными, нельзя не сказать о дружественных числах.

3. Дружественные числа

Однажды Пифагор на вопрос, кого следует считать другом, якобы ответил так: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Видимо, какое – то необычное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел. Вот это свойство: 220=1•22•5•11 - делится на 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 (само число исключается из перечня делителей, тогда остальные делители называются собственными), а сумма всех собственных делителей числа 220 равна 284.

В свою очередь, 284=1•22 •71 делится на 1,2,4,71 и 142 и сумма его собственных делителей равна 220! Значит, 220 – это как бы «второе я» числа 284. В средние века считалось, что талисман с числами 220 и 284 способствуют укреплению любви. Возможно, что именно Пифагор и был первооткрывателем этой пары дружественных чисел - первой, наименьшей из возможных и единственно известной на протяжении более чем 15 последующих веков.

Дадим определение:

Сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.

Вторую пару: 17296 и 18416 – открыл марокканский учёный ибн аль-Банна (около 1300 г). Не зная этого через 300 лет (в 1636 г) эту же пару открыл Пьер Ферма.

Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их ровно 59 пар!

Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел ещё одной парой, был наш великий соотечественник (в 1851 г), а за ним - тоже одной парой (в 1866 г) – шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини (тезка знаменитого скрипача).

Но превзойти Эйлера по количеству пар никому из математиков не удавалось вплоть до последних десятилетий нашего времени. Первым побил рекорд Эйлера бельгиец Поль Пуле (62 новые пары к 1948 г). Наконец, самой рекордной добычи достиг американец Элвин Дж. Ли – 300 пар за годы! Для вычислений он пользовался ЭВМ.

К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел. Из этой коллекции ровно 13 пар размещаются на отрезке (1::

1 18416

2 1 76084

3 28 66992

4 55 71145

5 65 87633

6 1050 88730

7 12

4. Палиндромы и репьюниты

Дадим определения:

Обращенное число – это число, записанное с теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Например, 1234 обращенное 4321.

Палиндромическое число - равное обращенному. Например, 121, 5995, 12321 и т. д.

Репьюниты - натуральные числа, запись которых состоит только из единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются короче - Rn: R1=1, R2=11, R3=111, R4=1111…

«Фамилия» этого семейства – Repunit - образована слиянием английских слов: repeated unit (повторенная единица). Обнаружено немало интересных свойств репьюнитов. Например, в семействе репьюнитов выявлено пока только 5 простых чисел: R2, R19, R23, R317 и R1031.

Интересна табличка простых делителей составных репьюнитов:

111=3∙ 37;

1111=11∙101;

11111=41∙271;

111111=3∙7∙ 11∙13∙37;

1111111=239∙ 4649 и т. д.

В результате умножения репьюнитов получается палиндромическое число:

11∙11=121;

11∙111=1221;

1111∙11=12221;

1112=12321;

Вывод

Мы познакомились с удивительными натуральными числами: совершенными, дружественными, палиндромами и репьюнитами. Все они, кроме палиндромов, обязаны своими свойствами простым числам.

Значит, мы подтвердили свою гипотезу:

простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

Литература

1. Кордемский жизни в математике: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995

2. Кордемский мир чисел: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995

3. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы/- М.: «Просвещение», 1989

4. . Занимательная математика: Е.: Издательство «Тезис», 1994

Содержание

Введение

Глава 1. О числе

Глава 2. Простые числа

2.1 Простые числа. Решето Эратосфена

2.2 Числа - близнецы

2.3 Проблема Гольдбаха

Глава 3.Фигурные числа

3.1 Фигурные числа

3.2 Многоугольные числа

Глава 4. Дружественные, совершенные, компанейские числа

4.1 Дружественные числа

4.2 Совершенные числа

4.3 Компанейские числа

Глава 5. Числовые суеверия и мистические представления чисел

5.1 Число зверя 666

5.2 Число Шахиризады

5.3 Число на гробнице

Заключение

Литература

Введение

Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах - математики - немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного!

"Самые древние по происхождению числа - натуральные. "Ручейки" натуральных чисел, сливаясь, порождают безбрежный океан вещественных и разного рода особых специальных чисел", так писал о числах в своей книге "Удивительный мир чисел".

Предметом моего исследования являются натуральные удивительные числа и их свойства.

Цель работы: как можно больше отыскать удивительных натуральных чисел, установить их свойства и закономерности.

Предлагаемая работа является результатом поиска удивительных и необычных чисел, проведенного по литературным источникам.

Основными методами исследования видов чисел являются изучение и обработка литературных источников, систематизация данных.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть основные этапы развития натуральных чисел.

2. Выделить интересные виды удивительных натуральных чисел: простые, числа - близнецы, фигурные, совершенные, дружественные и другие.

3. Установить целый ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел.

4. Раскрыть таинственную магию и суеверие о некоторых числах.

Глава 1. О числе

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 - цвет, 6 - холод, 7 - разум, здоровье, 8 - любовь и дружбу. А число 10 называли "священной четверицей", так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную.

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих "Началах": "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц". Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей "Арифметике" (1703 г.).

Считается, что термин "натуральное число" впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием "натуральное число" в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер ( гг.).

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: "один" и "два". Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии "много". Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи, с чем придумывались новые числа: "три", "четыре"… Долгое время пределом познания было число "семь".

О непонятном говорили, что эта книжка "за семью печатями", знахарки в сказках давали больному "семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек".

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом "сорок сороков", равным 1600.

Большой интерес вызывает история числа "шестьдесят", которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число "тьма", (у древних греков - мириада), равное, а запределом - "тьма тьмущая", равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое "большое число" или "большой счет").

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н. э.) в "исчислении песчинок" - до числа 10, возведенного в степень 81016 , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах - до бесконечности?.

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ? . Натуральных потому, что ими обозначались реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи… Самое трудное было придумать нуль. Его придумали на много веков позже, чем другие цифры. Первая точно датированная запись, в которой встречается знак нуля, относится к 876 г.

Глава 2. Простые числа

2.1 Простые числа. Решето Эратосфена

Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно нацело не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие-то целые делители, то составным. Единичка же не считается ни простым числом, ни составным.

Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить старинным способом, придуманный ещё в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим незачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее незачёркнутое число - это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, в конце концов добьемся того, что незачеркнутыми останутся одни лишь простые числа - они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название "решето Эратосфена".

Простых чисел бесконечное множество.

2.2 Числа - близнецы

Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название "близнецы". В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно.

В пределах первой сотни близнецы - это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). По мере удаления от нуля близнецов становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких скоплений - тоже пока неизвестно.

2.3 Проблема Гольдбаха

В 1742 г. член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предложение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

50 = 47 + 3, 46 = 43 + 3, 32 = 29 + 3.

Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа "проблемой Гольдбаха" и сформулирована так, требуется доказать или опровергнуть предложение:

Всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Л. Эйлер ответил Х. Гольдбаху, что он высказывает (без доказательства) еще более интересную догадку: "Всякое четное натуральное число, большее двух, представляет собой сумму двух простых чисел".

12 = 5+ 7; 64 = 59 + 5 = 41 +23 = 47 +17; 28 = 11 + 17 = 23 + 5;

162 = 157 + 5 = 151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31.

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха - Эйлера, но безуспешно.

Глава 3. Фигурные числа

3.1 Фигурные числа

Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.

Фигурные числа -- общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа -- числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Плоские числа -- числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

Телесные числа -- числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …

3.2 Многоугольные числа

Выкладывая различные правильные многоугольники, можно получить разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: "Возвести число в квадрат или в куб".

Последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 и т. д. (1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.)

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, и т. д. (1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16).

Пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т. д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125... и так далее.

Глава 4. Дружественные, совершенные, компанейские числа

4.1 Дружественные числа

Дружественные числа - это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. По свидетельству античного философа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом, ответил: "Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284".

История дружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел - 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойство дружественных чисел:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма. Но недавно в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны () были найдены строки: "Числа 17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ".

А задолго до Ибн аль-Банны другой арабский математик абу-Хасан Сабит ибн Курра (836-901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа:

если для некоторого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1 и r=9·22n-1-1 простые, то числа A=2npq и B=2nr - дружественные.

При n=2, числа p=5, q=11, r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и 284.

При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн аль-Банны и Ферма 17296 и 18416.

При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французским математиком и философом Рене Декартом.

После Декарта первым получил новые дружественные числа Леонард Эйлер. Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и . Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел. В 1867 году шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. В Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви.

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Например, есть ли пары, в которых одно число четное, а другое - нечетное? Конечно или бесконечно число пар дружественных чисел? Существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел?

4.2 Совершенные числа

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Никомах Герасский, знаменитый философ и математик, писал: " Совершенные числа красивы. Но известно, что вещи редки и немногочисленны, безобразные встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного" Но, сколько их, Никомах, живший в первом столетии нашей эры не знал.

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.

Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" - совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.

Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.

- Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

- Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13 + 33 + 53…

- Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=22, 8 = 2? 2? 2, 16 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть "не достают" до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа.

- Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

4.3 Компанейские числа

Понятия совершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе по занимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числа могут дружить и компаниями. Понятие компанейских чисел хорошо раскрывается в англоязычных источниках.

Компанейскими называется такая группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго - третьему и т. д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа.

Есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников, а вот по три не найдено. Пример пятёрки, пока единственной известной: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.

Глава 5. Числовые суеверия и мистические представления чисел

5.1 Число зверя 666

Число зверя число Смита, сумма его цифр равна сумме цифр его простых сомножителей: 2 + 3 + 3 + (3 + 7) = 6 + 6 + 6 = 18.

666 является суммой квадратов первых семи простых чисел:

22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666.

666 равно разности и сумме шестых степеней первых трёх натуральных: 16 ? 26 + 36 = 666.

666 равно сумме своих цифр и кубов своих цифр:

6 + 6 + 6 + 63 + 63 + 63 = 666.

666 можно записать девятью различными цифрами двумя способами в их возрастающем порядке и одним в убывающем:

1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666

123 + 456 + 78 + 9 = 666

9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666

Сумма всех целых от 1 до 36 включительноЭто означает, что это 36-е треугольное число.

5.2 Число Шахиризады

Число Шахиризады - число 1001, которое фигурирует в заглавии бессмертных сказок "Тысяча и одна ночь". С точки зрения математики число 1001 обладает целым рядом интереснейших свойств: это самое маленькое натуральное четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел:1001=103+13; число 1001 состоит из 77 злополучных чертовых дюжин (1001=13? 77); или из 91 числа 11, или из 143 семёрок; далее, если будем считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 - количество ночей в течение 1+ 1+ + года или по - другому: 1001= 52 ? 7 +26 . 7+13? 7. В числе Шахиризады литература переплетается с математикой.

5.3 Число на гробнице

В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. трудно точно сказать, за что выпала такая честь на долю этого числа. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедится в том, что это число является наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка. Это минимальное число, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

Заключение

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа.

Из огромного многообразия натуральных чисел ученые выделили дружественные и совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств.

Анализируя научно-популярную литературу о совершенных и дружественных чисел, можно убедиться, что формулы общего вида для нахождения всех пар дружественных, совершенных чисел не существует. Вопрос о существовании: бесконечности множества четных совершенных чисел, нечетного совершенного числа, четно-нечетной пары дружественных чисел и взаимно простых дружественных чисел открыт до сих пор.

Причем нередко одно и тоже открытие происходило в разных точках земного шара, довольно часто повторялось несколько раз, совершенствовалось, а позже распространялось и становилось достоянием всех народов. Математика невольно связывает единой нитью народы мира. Она заставляет их сотрудничать и общаться между собой.

Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжить изучение чисел, ведь я только знаю натуральные числа.

Литература

1. Я. Познаю мир. Детская энциклопедия: Математика/ Я 11 Авт.-сост. и др.: - М.: ООО "Издательство АСТ", 2001.

2. . История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.

3. Число и наука о нем. Общедоступные очерки. Москва: Гос. издание технико - технической литературы 1984.

4. И. Депман. Мир чисел. Рассказы о математике. Ленинград "Детская литература" 1988.

5. . Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада - литера 1994.

6. . . За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов. Издательство"Просвещение" 1989.

7. Е. Карпеченко Тайны чисел. Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.

8. . Числа и меры. Математика/ Прил. К газете "Первое сентября"№7 1994

9. Internet ресурсы

Священое число - семь

Семь - одно из самых удивительных чисел. Таинственное число семь! Каким его только не считают: и священным, и божественным, и магическим, и счастливым.

Семь - число духовного порядка, священное число. Согласно Священному Писанию, семь - совершенное число. Оно правит временем и пространством.

Все народы мира уделяли числу семь особое внимание.

В Египте семь - символ вечной жизни, число бога Осириса. Согласно легендам, в седьмом часу ночи к Змею Апофису подплывает лодка Ра, мертвый проходит через семь залов и семь дверей, чтобы попасть в Амерти. Кроме того, семь - символ творения (как и в христианстве).

Великий шумерский царь Лугуланнемунду, правивший в 2500 году до н. э., выстроил в своем городе Адабе храм богини Нинту. Храм имел семь ворот и семь дверей, и когда он был завершен, его освятили семь раз, принеся в жертву семь быков и овец.

В Древней Греции семь - символ Аполлона. Аполлон родился в седьмой день месяца, его лира имела семь струн. В легендах можно встретить семь Гесперид, семь кругов ада, семь врат, семь дочерей Астарты, семь циклопов, семь детей Ниобы, семь трубок флейты Пана и т. д.

Число семь упоминается в Ветхом и Новом Заветах 700 (!) раз. В исламской традиции существует семь невест и семь земель, семь врат рая и семь ступеней ада, семь пророков (Адам, Ной, Авраам, Моисей, Давид, Иисус, Мухамед). Во время Хаджа в Мекку, паломники должны семь раз обойти вокруг священного камня Каабы. Семь дней душа умершего проводит возле могилы. На седьмой день новорожденный получает имя. В течение семи дней Иешуа с израильтянами обходил стены Иерихона с семью жрецами, которые несли семь труб, и на седьмой день они семь раз обошли город и на седьмой раз закричали, и стены рухнули, и они уничтожили город.

Древние знали семь планет и каждой из них предавали большое значение.

Семь - самое таинственное и сверхъестественное число, оно является самым важным и в магии. По традиции, седьмой сын седьмого отца обладает магическими способностями.

Семь печатей, семь чаш гнева, семь громов, семь золотых подсвечников, семь голов зверя, семь цветов радуги, семь нот, семь богатырей, семь гномов, семь дней недели, семь ветров, семь Столпов Мудрости, за семью горами, семь пядей во лбу, семь пятниц на неделе, семь, семь, семь...

Семь смертных грехов:

1. Гнев

2. Жадность

3. Зависть

4. Обжорство

5. Похоть

6. Гордыня

7. Лень

Число семь встречается очень часто в различных известных изречениях, пословицах и поговорках, а так же в исторических фактах, что лишний раз подтверждает его необычные свойства.

Рим построен на семи холмах в неделе семь дней под смоковницей с семью плодами сидел Будда спектр состоит из семи основных цветов: красный оранжевый желтый зеленый голубой синий фиолетовый в музыке выделяются семь тонов (нот) звукоряда

Всем известны семь чудес света:

1 храм Артемиды в Эфесе

2 Мавзолей в Галикарнасе

3 Зевс Олимпийский работы древнегреческого скульптора Фидия

4 Колосс Родосский

5 маяк в Александрии

6 Египетские пирамиды и сфинкс

7 висячие сады Семирамиды в Вавилоне

Цифра 7 в пословицах и поговорках:

- семь футов под килем

- семь раз отмерь один раз отрежь

- седьмая вода на киселе

- работать до седьмого пота

- семь бед – один ответ

- семеро одного не ждут

- за семь верст киселя хлебать

- один с сошкой, а семеро с ложкой

- у семи нянек дитё без глазу

- семь пятниц на неделе

- семь пядей во лбу

- тайна за семью печатями

- для любимого дружка семь вёрст не околица

- для бешеной собаки семь вёрст не круг

- лучше семь раз покрыться потом, чем один раз инеем

- сентябрьский час - семь погод у нас

- семи смертям не бывать, а одной не миновать

- за семью морями

- на седьмом небе

- семимильными шагами

- лук от семи недуг

N. B. Одним подтверждением божественности числа 7 является открытие сделанное Иваном Паниным.

Суть открытия заключается в том, что в исходном тексте Библии, состоящей из Ветхого Завета, продиктованного на древнееврейском языке, и Нового Завета, продиктованного на греческом языке, в каждом слове и в каждой букве непостижимым образом закодирована цифра 7, как, впрочем, она закодирована и во всем нашем мироздании.

Вспомним, например, что: лунный месяц равен 28 дням (7х4), белый солнечный свет состоит из 7 цветов, музыкальная октава — из 7 полных тонов, период беременности у человека длится 280 дней (7х40).

У животных: у мыши — 21 день (7х3), у зайцев и крыс — 28 дней (7х4), у кошки -56 дней (7х8), у собаки — 63 дня (7х9), у льва — 98 дней (7х14), у овцы — 147 дней (7х21).

У птиц инкубационный период длится: у обыкновенной курицы — 21 день (7х3), у утки — 28 дней (7х4).

Человек с первого предъявления обычно запоминает 7 понятий.

Ворона умеет совершать простые арифметические действия в пределах числа 7. И т. д., и т. п.

Несомненно, что эти и бесчисленные другие подобные факты не случайны, очевидно, они указывают на существование какой-то исключительно важной для человечества тайны, связанной с Творцом мироздания, и ключом к раскрытию этой тайны служит цифра 7. А крайне частое упоминание этой цифры в Писании по самым различным поводам подсказывает нам, где следует искать разгадку этой необыкновенной тайны. Поясню ее на конкретных примерах.

Первая фраза Ветхого Завета “В начале сотворил Бог небо и землю” (Быт 1:1) имеет 7 древнееврейских слов, состоящих из 28=7х4 букв, причем первые 3 слова, содержащие подлежащее и сказуемое, имеют 14=7х2 букв, столько же букв содержат и последние 4 слова (дополнения). Самое короткое слово стоит в середине фразы, число букв в этом слове и слове слева равно 7, число букв в среднем слове и слове справа тоже равно 7. И т. д.

В Новом Завете первые 17 стихов первой главы (Евангелие от Матфея) говорят о родословии Христа. При этом первые 11 стихов охватывают период до переселения в Вавилон, они содержат 49=7х7 словарных единиц (разных слов) греческого языка, число букв в них равно 266=7х38, из них гласных 140=7х20, а согласных 126=7х18; число слов, которые начинаются с гласной, равно 28=7х4, а с согласной — 21=7х3; число существительных равно 42=7х6, не существительных — 7; имен собственных — 35=7х5, они встречаются 63=7х9 раз, в них мужских имен — 28=7х4, не мужских — 7, мужские имена встречаются 56=7х8 раз; слово Вавилон состоит из 7 букв, нарицательных имен существительных — 7, в них число букв равно 49=7х7; имеется также более 20 других аналогичных числовых особенностей. И т. п. Похожие числовые закономерности заложены в остальные стихи родословия, а также в весь текст всей Библии.

Более того, в древности иудеи и греки выражали числа буквами своего алфавита. Подстановка этих чисел на места соответствующих букв библейского текста приводит к аналогичным результатам. Например, если в трех важных существительных первой фразы Ветхого Завета (Бог, небо, земля) буквы заменить числами, то получится сумма, равная 777=7х111, древнееврейский глагол “сотворил” имеет суммарное числовое значение 203=7х29. И т. д.

В Новом Завете родословие Христа, состоящее из 17 стихов, дает суммарное числовое значение словарных единиц, равное 42364=7х6052 (интересно, что греческое слово “Иисус” дает сумму 888, а число зверя, или антихриста, или сатаны, в Апокалипсисе равно 666; оно получается, если греческое слово “зверь” обозначить буквами еврейского алфавита...).

Иван Панин показал, что весь Ветхий и Новый Завет охватываются многими тысячами подобных числовых особенностей.
Наконец, Иваном Паниным обнаружены также цепочкообразные числовые закономерности, проходящие сквозь все Писание и связывающие воедино весь его текст. При этом они охватывают значение, грамматические формы, значимость места и порядковый номер каждого слова и каждой его буквы, так что любое слово и любая буква имеют свое определенное предназначенное им место.

Например, Ветхий Завет писали 21=7х3 человек, упомянутых в Библии, суммарное числовое значение их имен равно 3808=7х544. Из них в Новом Завете фигурируют семеро, числовое значение имен которых составляет сумму 1554=7х222.

Имя Иеремии встречается в 7 книгах Ветхого Завета в 7 различных формах древнееврейского языка 147=7х21 раз, имя Моисея упоминается в Библии 847=7х121 раз, причем с этим именем связаны 38 или более похожих числовых зависимостей.

Из теории вероятности, которая появилась сравнительно недавно, строго математически следует, что обнаруженные в структуре оригинального библейского текста числовые особенности не могли возникнуть случайно, вероятность этого равна нулю, а являются результатом заранее спланированного и осуществленного замысла. При этом его осуществление практически невозможно на произвольном алфавитном, словарном и грамматическом материале. Следовательно, план должен был предусматривать создание соответствующего алфавита, словарного запаса и грамматических форм древнееврейского и греческого языков. Необходимо было учесть также психические, общеобразовательные, стилистические, возрастные и прочие индивидуальные особенности каждого исполнителя указанного замысла. В целом сложности замысла и трудности его воплощения в жизнь возрастают до бесконечности.

Удивительные числа

Автор: Никитина Надежда

Руководитель:

Цель работы. Изучить удивительные особенности натуральных чисел.

Задачи. 1. Нахождение удивительных чисел в ряде натуральных чисел.

2. Учиться правильно рассуждать, воспитывать волю, логичность.

Число - важнейшее математическое понятие. Работа посвящена изучению удивительных особенностей натуральных чисел. Натуральными называются числа, употребляемые при счете предметов. Мною была исследована ряд натуральных чисел, обладающих любопытными особенностями. Я рассмотрела простые и составные числа, сверхсоставные числа. Совершенные числа и хорошие числа. Числа-близнецы. Дружественные числа. Особенные числа. Симметричные числа. Для изучения особенностей натуральных чисел я использовала много литератур, начиная с учебников математики 6 класса под редакцией Виленкина и Нурк, использовала Интернет ресурсы, книги для учащихся « Великие жизни в математике», « За страничками учебника математики», « За страничками учебника алгебры», «Я познаю мир» и многих других книжек. По ходу изучения данной темы мне удалось углубленно изучить школьные темы, как простые и составные числа. Ознакомиться сверхсоставными числами. Продолжить ряд совершенных чисел, рассмотренных на уроке математики.

Работая в кружке « Юные дарования» мы ознакомились особенными двузначными числами, то есть произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифры, книга « Занимательная алгебра» автором, которого является Перельман, г. Чебоксары,1994г. Доказательство тоже приводится. Таких пар среди двузначных чисел 14. Перед нами была поставлена задача: « Найти трехзначных чисел, обладающих такими же свойствами»

Мне удалось найти таких пар трехзначных чисел, не меняющих произведение при перестановке их цифр в обратном порядке.

Например,

211 × 224 = 112× 422 и 322 × 446 = 223× 644.

Составление пар трехзначных чисел отличается от составления пар двузначных чисел и доказательство очень сложное. Из - за недостаточности знания в области алгебры, в частности, умножение многочлена на многочлен, мне не удалось доказывать принцип составления трехзначных чисел. Но же мне удалось найти и четырехзначных, и пятизначных чисел.

Что нового внесла я к удивительным числам – эти хорошие, симметричные числа и особенные трехзначные числа.

Изучая ряд натуральных чисел можно найти много особенностей натуральных чисел.

Думаю, что я в целом поставленные задачи выполнила и своей цели достигла, хотя очень много работы предстоит в будущем по этой теме.