Численное исследование нелинейной динамики многослойных спирально ортотропных цилиндров

УДК 539.3

ЧИСЛЕННОЕ исследованиЕ НЕЛИНЕЙНОЙ динамики многослойных СПИРАЛЬНо ОРТотропНЫХ ЦИЛИНДРОВ

Институт проблем прочности им. НАН Украины, Киев, Украина

На основе двумерного алгоритма Уилкинса разработан метод численного ис-следования геометрически и физически нелинейного осесимметричного динами-ческого напряженно-деформированного состояния (НДС) многослойных тол-стостенных цилиндрических упругопластических оболочек с различной струк-турой спирального армирования. Численно исследованы особенности нелиней-ного динамического поведения одно - и двухслойных цилиндров при различных схемах спирального армирования и амплитудах нагружения.

Ключевые слова: спиральная ортотропия, динамика, многослойный цилиндр, геометрическая и физическая нелинейность, пластичность.

- Композитные материалы (КМ) находят все более широкое применение в технике и, в частности, в конструкциях подверженных нестационарным нагрузкам. К таким конструкциям в первую очередь относятся сосуды, корпуса или защитные сооружения, предназначенные для удержания в своей полости значительных гидро - либо газодинамических нагрузок [1,2]. Структура и технология создания КМ предопределяют их качественные различия в реакции на динамическую нагрузку. В приложениях широко используются многослойные оболочки вращения, изготовленные из композитных слоев, армированных по спирали под определенным углом α к образующей. Такие оболочки, как правило, локально ортотропны. Однако их главные оси анизотропии x',j',r при этом не совпадают с осями глобальной цилиндрической системы координат x,j,r, а повернуты относительно оси r на угол армирования.

Известны теоретические исследования подобных конструкций для статических условий нагружения: в [3] численно-аналитическим методом изучено НДС двухслойного упругого полого цилиндра, подверженного действию давления на внешней поверхности. Слои цилиндра армированы волокнами, которые ориентированы под равными по величине и противоположными по знаку углами относительно продольной оси. Отмечено, что при исследовании НДС необходимо учитывать эффекты, обусловленные несовпадением главных направлений упругости с направлением координатных линий.

В [4] изложена методика вычисления собственных частот многослойных цилиндров со спиральной ортотропией для граничных условий типа Навье на торцах. В [5] на основе двумерного алгоритма Уилкинса разработан метод численного исследования динамики многослойных толстостенных упругих цилиндрических оболочек с различной структурой спирального армирования и исследованы особенности динамического поведения двухслойного цилиндра при различных схемах спирального армирования.

Обзор литературы показал, что большая часть работ посвящена исследованию подобных конструкций в упругой области при малых перемещениях и деформациях. В то же время при интенсивных динамических нагрузках задача исследования становится существенно нелинейной: как геометрически (появление конечных перемещений, поворотов и деформаций), так и физически (появление необратимых пластических деформаций). В [6] подобные задачи с учетом обоих видов нелинейностей рассматривались для тел вращения с цилиндрической ортотропией. Нелинейные динамические задачи о влиянии структуры спирального армирования на НДС толстостенных многослойных полых упругопластических цилиндрических тел, насколько известно автору, не рассматривались.

Цель данной работы — обобщить методики [5] и [6] на случай осесимметричного динамического нагружения толстостенных многослойных спирально ортотропных упругопластических цилиндров с учетом геометрической и физической нелинейностей, а также исследовать влияние различных схем армирования и видов нелинейности на НДС толстостенных одно - и двухслойных цилиндрических оболочек, подверженных осесимметричному импульсному воздействию.

Математическая постановка краевой задачи и метод решения

Дадим математическую формулировку задачи исследования (начало координат условимся всегда располагать в центре симметрии цилиндра). Уравнения движения в цилиндрических координатах с учетом осевой симметрии и произвольного (от -90° до +90о) угла спирального армирования a, который полагается постоянным в пределах рассматриваемого слоя, имеют вид:

(1)

где - плотность материала слоя, - компоненты тензора напряжений; - время; - компоненты вектора скорости перемещений.

Геометрические соотношения, выражающие тензор скоростей деформаций через вектор скорости перемещений, запишутся следующим образом:

(2)

Соотношения (2) универсальны в том смысле, что они являются справедливыми как для малых, так и для конечных деформаций, перемещений и поворотов. Таким образом геометрические соотношения в форме (2) позволяют в полной мере учитывать геометрическую нелинейность краевой задачи [7].

Физические уравнения в упругой области с учетом произвольного угла спирального армирования слоя a запишем в векторной форме:

(3)

где квадратная матрица С размерности 6´6 симметрична () и имеет следующие ненулевые компоненты [8]:

выражения для получаются путем циклической перестановки индексов ; () – технические характеристики упругости ортотропного материала в главных осях анизотропии при угле армирования , то есть в случае цилиндрически ортотропного тела ( Еi – модули упругости; Gij – модули сдвига; uij – коэффициенты Пуассона в соответствующих направлениях и плоскостях). При этом выполняются равенства [8]:

(4)

и для реальных материалов D0>0.

Предполагалось, что рассматриваемые композитные материалы могут проявлять также пластические свойства. Пластическое деформирование КМ будем описывать теорией течения ортотропного материала без упрочнения Мизеса-Хилла [9, 10]. По этой теории в главных осях анизотропии x', φ', r критерий пластичности имеет вид:

(5)

где

(6)

- пределы текучести ортотропного материала в соответствующих главных направлениях анизотропии.

Зависимости приращений пластических деформаций от напряжений запишутся так:

(7)

где

(8)

В изотропном материале:

. (9)

Полные деформации в рамках теории [9] можно представить в виде суммы упругих и пластических составляющих, при этом упругие составляющие определяются физическими уравнениями (3), а пластические - соотношениями (5) – (8).

Система уравнений (1)-(8) замыкается начальными, граничными и контактными условиями. Начальные условия полагались нулевыми, граничные – силовыми или кинематическими, контакт между слоями – идеальным. Несмотря на наличие всех компонент перемещений, напряжений и деформаций, краевая задача (1)-(8) будет осесимметричной в том смысле, что ни одна из ее переменных не будет зависеть от угловой координаты j [3, 5].

На основе приведенных уравнений разработан пакет прикладных программ (ППП) для осесимметричного двумерного динамического численного расчета геометрически и физически нелинейного НДС многослойных толстостенных упругопластических цилиндров при произвольном угле армирования каждого слоя. Метод основан на явной по времени интегро-интерполяционной по пространству конечно-разностной схеме Уилкинса, при этом за основу взята методика [5], доработанная на случай конечных, в том числе и пластических, деформаций согласно подходу [6].

Разработанный ППП для упругих краевых задач достаточно тщательно тестировался в [5]. Ввиду отсутствия литературных данных по пластическому деформированию подобных спирально анизотропных конструктивных элементов, тестирование блока расчета пластического течения в модифицированном ППП производилось традиционными методами численного эксперимента и также показало достаточно хорошую точность алгоритма.

Таким образом, достоверность предложенной расчетной методики обосновывается использованием традиционных математических формулировок краевых задач механики сплошной среды[7-10] и хорошо апробированных и оттестированных численных алгоритмов[5-7]. Границы использования метода также достаточно широки: в [5-7] показано, что в рамках используемой математической модели конечно-разностная схема Уилкинса позволяет проводить расчеты с достаточной точностью как при малых деформациях, так и при больших – порядка 100% и даже более. Поскольку реальные композиты и конструкции, выполненные из них, теряют несущую способность при гораздо меньших деформациях, предложенную методику можно использовать для любых нагрузок вплоть до разрушающих.

Численные результаты: учет геометрической нелинейности

Чтобы вычленить влияние только фактора геометрической нелинейности в «чистом» виде, вначале будем рассматривать упругий КМ, подчиняющийся закону Гука даже в случае конечных деформаций и напряжений.

Рассмотрим однослойный цилиндр конечной длины таких размеров: длина L=0,4м, внутренний радиус R1=0,1м, наружный радиус R2=0,12м; и нагружаемый изнутри осесимметричным импульсом давления по закону [5]:

(10)

где а=6310 м/с; .

Амплитуда нагружения s0 варьировалась: 1 - s0=1 МПа – линейная постановка; 2 - s0=1500 МПа – геометрически нелинейная постановка. Торцы и наружная поверхность цилиндра свободны от нагрузок. Материал - ортотропный графитоэпоксид Т300/5208 с такими упругими характеристиками [11, 12]: Ex=1,325×105 МПа; Ej=Er=1,08×104 МПа; Gjr=3400 МПа; Gxj=Grx=5700 МПа; νxj=0,24; νjr=0,49; νrx=0,02; r=1540 кг/м3. Угол армирования полагали a=p/3.

Исследовали изменение во времени:

а) безразмерных напряжений sj /s0 на внутренней поверхности цилиндра в центральном сечении (x=0; r =R1), см. рис.1;

б) безразмерных радиальных перемещений wrGjr /s0R1 там же;

в) безразмерных осевых перемещений wxGjr /s0R1 торца вблизи внутренней поверхности (x=L/2; r =R1);

г) безразмерного угла закручивания b Gjr /s0 правого торца цилиндра (x=L/2) относительно левого (x=-L/2) вблизи внутренней поверхности (r =R1).

Кривая 1 соответствует линейной постановке (s0=1 МПа, максимальные деформации не превышали 0,008%), кривая 2 – геометрически нелинейной постановке (s0=1500 МПа, максимальные деформации могли доходить до 15%).

Как видно из рис.1 и анализа остальных б)-г) выходных данных (графические иллюстрации к ним здесь опущены), качественно все кривые линейной постановки подобны соответствующим кривым нелинейной постановки. Большие пиковые значения при этом по всем переменным наблюдаются, как и на рис.1, в случае нелинейного расчета. Крутильные и продольные колебания оболочки связаны с одной – продольной формой колебаний оболочки, и происходят с одинаковой частотой. Радиальные колебания соответствуют другой форме колебаний - и они происходят с гораздо большей частотой.

Рис. 1. - Влияние геометрической нелинейности на окружные напряжения в

однослойном цилиндре

Известно, что наиболее сильное отличие от линейного расчета учет геометрической нелинейности будет давать тогда, когда в конструкции реализуются и большие деформации, и большие повороты одновременно [6, 7, 13]. В рассматриваемой конструкции – короткой цилиндрической оболочке под действием осесимметричного внутреннего давления - больших поворотов даже при интенсивной нагрузке ожидать не приходится. По крайней мере, повороты всегда будут менее значительны сравнительно с соответствующими деформациями. Поэтому и эффекты, связанные с учетом геометрической нелинейности, в таких конструкциях относительно умеренные: качественно динамическую волновую картину они сильно не меняют, а количественно дают большие амплитудные значения силовых и кинематических параметров по сравнению с линейным подходом.

Поэтому даже для таких относительно несложных конструкций и схем нагружения рекомендовать линейные подходы расчета в случае больших нагрузок проблематично – линейный расчет может не идти в запас прочности, а занижать максимальные величины напряжений и деформаций.

Численные результаты: учет пластического деформирования

А) Однослойный цилиндр

Будем рассматривать ту же оболочку и схему нагружения, что и ранее, полагая КМ при этом упруго-пластическим. В [11] приведены пределы прочности для данного графитоэпоксида Т300/5208. Учитывая, что большинство КМ имеют сравнительно малые пластические участки на соответствующих диаграммах деформирования, используя данные [11], принимаем для графитоэпоксида Т300/5208 следующие пределы текучести: sТх=1500 МПа; sТj=sТr=40 МПа; tТjr=65 МПа; tТr х=tТхj=85 МПа. Результаты численных расчетов представлены на рис.2 и рис.3. Нумерация кривых на рис.2 такова:

1 - s0=20 МПа; 2 - s0=50 МПа; 3 - s0=100 МПа; 4 - s0=300 МПа; 5 - s0=400 МПа.

При этом на рис.2,а-г приводятся графики тех же физических величин, что и на соответствующих рис.1,а-г, кроме того рис.2,д демонстрирует изменение во времени безразмерного радиального перемещения вблизи торца у внутренней поверхности цилиндра (r =R1; x=L/2). При s0=20 МПа (кривые 1) цилиндр деформировался упруго, а при s0 ³50 МПа - упругопластически, при этом деформации при s0=400 МПа могли достигать 50% и даже более.

Характерно то, что при относительно малой нагрузке (s0=50 МПа) оболочка начала деформироваться пластически не сразу, а в результате эффекта «раскачки» [5, 14]: до момента времени t0 »3,3×10-4с цилиндр работал целиком в упругой области, кривые 1 и 2 совпадают (для сравнения – время действия импульса нагрузки около 1,65×10-5с, то есть в 20 раз меньше), а при t ³ t0 в оболочке из-за «раскачки» начинают появляться локальные пластические зоны, о чем свидетельствует расхождение кривых 1 и 2.

При s0 ³100 МПа характерно появление остаточных прогибов, удлинения и угла закручивания оболочки. При этом при больших нагрузках эти величины более или менее выходят на квазистационарные значения, кроме радиального перемещения торца – там даже при s0 =400 МПа наблюдаются выраженные упругие колебания вокруг положения остаточного прогиба, см. кривую 5 на рис.2,д.

а.

б.

в.

г.

д.

Рис. 2. - Влияние физической нелинейности на НДС

однослойного цилиндра

Исследовалась также зависимость от амплитуды нагружения s0  следующих остаточных безразмерных величин:

а) радиального прогиба в центральной внутренней точке wrGjr /s0R1;

б) удлинения wxGj r /s0R1;

в) угла закручивания b Gjr /s0;

г) средней толщинной деформации центрального сечения er Gj r /s0;

При этом удлинения и угол закручивания вычислялись вдоль внутренней поверхности цилиндра. Как показал анализ, на всех соответствующих графиках f(σ0) , которые здесь опущены, участки s0Î[100;300] МПа близки к линейным, что свидетельствует о том, что при таком уровне нагрузки вышеуказанные остаточные величины в своей естественной физической размерности можно достаточно точно прогнозировать квадратичной зависимостью типа ks02. При s0 >300 МПа наблюдается катастрофическая текучесть: остаточные деформации начинают расти по мере увеличения амплитуды нагрузки быстрее, чем по квадратичной зависимости.

Также изучена зависимость от угла армирования a тех же остаточных величин при докритической нагрузке s0 =200 МПа и закритической s0 =400 МПа. Наблюдается сильная нелинейная зависимость остаточных деформаций и от a, и от s0 . При чем для остаточной радиальной деформации er увеличение s0  меняет зависимость er(a) не только количественно, но и качественно. В некоторой, более слабой, степени это относится и к остаточному прогибу центрального сечения цилиндра.

Максимальные остаточные прогибы оболочки наблюдаются при осевом армировании (a =0), удлинения - при a »30°, углы закручивания – при a »45°. Интересно, что при окружном армировании (a =90°) остаточные удлинения практически отсутствовали, несмотря на то, что продольная жесткость цилиндра при таком армировании – минимальна.

Б) Двухслойный цилиндр

Геометрические габариты и схема нагружения цилиндра не менялись. Оболочка полагалась двухслойной: слои одинаковой толщины, выполнены из того же КМ. Угол армирования внутреннего слоя отличается от угла армирования наружного слоя. Рассматривали 2 схемы армирования:

а) симметричное – во внутреннем слое угол армирования (+a), в наружном – (-a);

б) ортогональное – во внутреннем слое угол армирования a, в наружном – (a±90°).

Исследовалась зависимость тех же остаточных величин, что и ранее для однослойного цилиндра, от угла α . Некоторые результаты расчетов представлены на рис.3 и рис.4, при этом кривые 1 соответствуют докритической нагрузке (200 МПа), кривые 2 – закритической (400 МПа). Как и прежде, наблюдается сильная нелинейная зависимость остаточных деформаций оболочки от амплитуды нагрузки, угла и схемы армирования. Остаточное закручивание при симметричном армировании оказалось на порядок меньшим такового при соответствующем ортогональном армировании. Наибольший остаточный прогиб центрального сечения наблюдается при симметричном армировании. Ортогональное армирование его понижало в 2-3 раза в зависимости от амплитуды импульса. Ортогональная схема армирования обеспечивала так же значительно меньший уровень остаточных удлинений цилиндра при aÎ[0; 45°]. При a > 45° и сильной нагрузке (s0 =400 МПа) меньший уровень остаточных удлинений обеспечивала симметричная схема. Обе схемы армирования обеспечивали примерно одинаковый уровень остаточных радиальных деформаций, качественная картина er (a) при этом существенно зависела и от s0 , и от схемы армирования, вплоть до замены минимума максимумом на соответствующих графиках (здесь опущены) в окрестности значения a »75°.

а. б.

Рис. 3. - Зависимость остаточных перемещений от a при симметричном армировании

wхGj r /s0R1

а. б.

Рис. 4. - Зависимость остаточных перемещений от a при ортогональном армировании

Таким образом, учет пластического деформирования КМ гораздо сильнее количественно и качественно изменяет динамическое и остаточное НДС цилиндра по сравнению с сугубо геометрически нелинейными эффектами. НДС сложным нелинейным образом зависит от амплитуды нагрузки, характеристик упругости и текучести, угла и схемы армирования и других факторов. Это связано с тем, что учет физической нелинейности влияет на НДС как непосредственно:

а) напряжения ограничены поверхностью текучести;

б) поверхность текучести в существенно анизотропных КМ, как правило, сильно отличается от сферической (изотропной);

так и опосредованно – из-за больших пластических течений в конструкции появляются и большие деформации, и большие повороты одновременно и таким образом геометрическая нелинейность начинает проявляться в полной мере.

Выводы:

1. Разработан ППП геометрически и физически нелинейного расчета нестационарного осесимметричного НДС многослойных толстостенных упругопластических цилиндрических оболочек со спиральной ортотропией.

2. С помощью разработанного ППП исследованы: влияние геометрической и физической нелинейностей на НДС и особенности нелинейного динамического поведения одно - и двухслойного упругопластического цилиндра при различных схемах спирального армирования и амплитудах нагружения.

Резюме

На основі двовимірного алгоритму Уілкінса розроблено метод чисельного дослідження геометрично та фізично нелінійного осесиметричного динамічного напружено-деформованого стану (НДС) багатошарових товстостінних циліндри-чних пружнопластичних оболонок з різною структурою спірального армування. Чисельно досліджено особливості нелінійної динамічної поведінки одно - та двошарових циліндрів при різних схемах спірального армування та амплітудах навантаження.

1. , , Г. Динамическая прочность оболочек из ориентированных волокнистых композитов при взрывном нагружении (обзор) // Прикл. механика и техн. физика. – 1993. - №1.- С.126-133.

2. , Ганов конструкционных материалов. Справочник. - Л.: Машиностроение, 19с.

3. , , Панкратова теории упругости неоднородных тел. – Киев: Наук. думка, 1991. – 216с.

4. Механика композитов : В 12 т. – Т.9. Динамика элементов конструкций. – Киев: Наук. думка, 1999. – 400с.

5. , Тарасовская исследование динамики многослойных толстостенных спирально-ортотропных цилиндров // Пробл. прочн. – 2004. - №6. – С.99-110.

6. , Вязкоупругопластические волны в окрестности угловых точек анизотропных оболочек // Пробл. прочн. – 1984. - №10. – С.89-92.

7. Уилкинс упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. – М.: Мир, 1967. – С.212-263.

8. Лехницкий упругости анизотропного тела.-М.: Наука, 197с.

9. Малинин теория пластичности и ползучести. – М.: Машиностроение, 1975. – 400с.

10. Математическая теория пластичности. – М.: ГИТТЛ, 1956. – 407с.

11. Onkar A. K., Upadhyay C. S., Yadav D. Probabilistic Failure of Laminated Composite Plates Using the Stochastic Finite Element Method // Composite Structures. – 77(2007). – P.79-91.

12. Zhao G. P., Cho C. D. Damage Initiation and Propagation in Composite Shells Subjected to Impact // Composite Structures. – 78(2007). – P.91-100.

13. Truesdell C. A First Course in Rational Continuum Mechanics. – Baltimore: The Johns Hopkins University, 1972. – 372p.

14. Луговой тонкостенных конструкций при нестационарных нагрузках // Прикл. механика. – 2001. – 37, №5. – С.44-73.