Иррациональные системы

Иррациональные системы

Определение. Систему назовем иррациональной, если хотя бы одно уравнение или неравенство, входящее в систему, является иррациональным.

Примеры решения задач

Пример 1. Решить систему

Преобразуем первое уравнение к виду и подставим вместо во второе уравнение. Полученное уравнение решим любым из способов, изложенных выше. Заметим, что решением системы называется пара чисел , удовлетворяющая каждому уравнению системы. Поэтому ответ обязательно записывать в виде пар . Ответ:

Пример 2. Решить систему

Сделаем замену . Тогда первое уравнение преобразуется к виду или с корнями и . Пусть .

Преобразуем уравнение к виду и сделаем подстановку во второе уравнение. Решив квадратное уравнение, получим часть ответа. Аналогично поступим с уравнением . Ответ: .

Пример 3. Решить систему

Первое уравнение системы представим в виде . Отсюда следует, что или . Из второго уравнения следует, что , следовательно . Сделав подстановку во второе уравнение, получим , а . Эта пара чисел удовлетворяет и первому уравнению. Ответ: .

Пример 4. Решить систему

Возведем каждое уравнение в квадрат. После преобразований получим систему После повторного возведения в квадрат получим линейную систему с решением , . Проверкой устанавливаем, что полученная пара чисел удовлетворяет системе. Ответ: .

Пример 5. Решить систему

Сделаем замену , . Тогда , , а система приобретает вид: Опустив дальнейшие выкладки, приведем ответ: .

Пример 6. Решить систему

Сделаем замену , и . Получаем рациональную систему: Использовав только два первых уравнения получим и . После подстановки в третье уравнение получаем . Решение последней системы: , , . Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Ответ:

2. Ответ:

3. Ответ: .

4. Ответ:

5. Ответ: .

6. Ответ: .

7. Ответ: .

8. Ответ: .

9. Ответ: .

10. Ответ: .

11. Ответ: Æ.

12. Ответ: .