Теплообмін у циліндричній трубі в разі гідравлічно стабілізованого потоку

УДК 532.5:532.135

Теплообмін У циліндричній трубі в разі гідравлічно стабілізованого потоку

О. Коссак, П.Грицак

Львівський національний університет імені Івана Франка

вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: *****@***;

Технологічний інститут в Нью-Джерсі, США

Досліджено застосування методу скінченних елементів для аналізу неньютонівських рідин, які підлягають реологічному степеневому закону Освальда–Рейнера. Розглянено повністю розвинений ламінарний потік нестисливої рідини в каналі. Наведено рівняння для осесиметричного та плоского потоку в каналі з сталим перерізом. За допомогою варіаційної постановки задачі та методу скінченних елементів обчислено власні значення, власні функції та відповідні числа Нуссельта для різних типів неньютонівських рідин. Наведено порівняння з відомими в літературі результатами.

Ключові слова: неньютонівськи рідини, реологічний закон, числа Нусельта, метод скінченних елементів,

ВСТУП

Неньютонівські рідини утворюють широкий клас різноманітних матеріалів, за­гальною властивістю яких є їх плинність та відхилення від закону тертя Ньютона. Такі рідини (суспензії асиметричних частинок, розчини високополімерів) підпорядковані реологічному степеневому закону Освальда–Рейнера [1,4] разом з рівнянням профілю швидкості

, (1)

де m і N>1 сталій в широких інтервалах напружень та швидкостей деформацій, а ко­ефіцієнт в’язкості зменшується зі збільшенням . Відсутність граничного напруження плинності притаманна також і дилатантним рідинам, (випадок, коли N<1). Зауважимо, що при N=1 (випадок ньютонівської рідини), отримуємо закон Ньютона

.

Формулювання задачі

Розглянемо ламінарний стабілізований потік рідини в каналі сталого перерізу за заданої сталої температури стінки по довжині каналу. Вважатимемо, що - температура рідини на вході в канал; процес теплообміну є стаціонарний; рідина нестислива, її фізичні властивості сталі і не залежать від температури; в потоці нема внутрішніх джерел теплоти; теплота тертя є мала, якою можна знехтувати; нехтуємо тепловим потоком уздовж труби внаслідок теплопровідності рідини порівнянно з конвективним тепловим потоком [3,4]. Уведемо безрозмірні змінні. Профіль безрозмірної температури . Приймемо для осесиметрич­ної, для плоскої задач і визначимо безрозмірну координату, перпендикулярну до потоку , та безрозмірну координату в напрямі потоку , -коефіцієнт температуропровідності.

Геометрія проблеми.

Запишемо рівняння енергії (=1 для осесиметричної та = 0 для плоскої задач) [3,4].

. (2)

Задачу розв’язуємо за таких граничних умовах

(3)

Для рівняння (2) існує аналітичний розв’язок, який можна записати у вигляді

. (4)

Рівняння (4) задовольняє граничні умови задачі, якщо також , і задовольняють рівняння Штурма–Ліувілля

. (5)

Тут у (5) є власними значеннями, а є власними функціями

, (6)

. (7)

Варіаційна ФОРМУЛЮВАННЯ Задачі

Розглянемо рівняння

, (8)

за умови . Запишемо його в слабкій формі Гальоркіна.

Введемо простір , помножимо (8) на функцію з цього простору, проінтегруємо частинами і врахуємо крайову умову . У результаті запишемо варіаційну задачу на власні значення, яка полягає у тому, щоб знайти пару , де - скаляр, а , яка задовольняє рівняння

. (9)

.

Для розв’язування цієї задачі застосуємо метод скінченних елементів (МСЕ) з використанням кусково-квадратичних апроксимацій МСЕ. Отримаємо узагальнену алгебричну проблему на власні значення. Для розв'язування застосовано метод ітерацій у підпросторі [2]. Описаний вище метод дає змогу легко знаходити потрібну кількість власних значень. У табл.1 для осесиметричної задачі наводено 5 перших власних значень для N=0, 0.5, 1, 2, 3, 7, .

Обчислення власних значень для осесиметричної задачі. Таблиця 1

N=0	N=0.5	N=1	N=2	N=3	N=7	N=
9.792	8.110	7.314	6.582	6.263	5.899	5.783
61.373	50.164	44.609	39.093	36.360	32.451	30.471
157.480	128.398	113.921	99.496	92.326	81.789	74.887
298.045	242.779	215.243	187.797	174.142	153.919	139.041
483.056	393.303	348.575	303.995	281.806	248.835	222.937

Під час розрахунків теплообміну для течії в каналі часто використовуються середньомасову температуру , яка визначена співвідношенням

, де , (10)

враховуючи, що =const та вигляд з (6)

. (11)

Запишемо остаточний вираз для місцевого числа Нуссельта

, (12)

Обчислення власних значень, які наведені в табл.1, є лише першим, кроком перед зображенням чисел Нуссельта, які визначені формулою (12). У табл.2 наведено числа Нуссельта ( N=0, 0.5, 1, 2, 3, 7, ) для осесиметричної задачі.

Обчислення чисел Нуссельта для осесиметричної задачі Табл. 2.

	N=0	N=0.5	N=1	N=2	N=3	N=7	N=
0.001 0.005 0.01 0.05 0.1 0.015 0.2 0.35 0.4	10.00 5.991 4.854 3.413 3.275 3.265 3.264 3.264 3.264	11.23 6.818 5.494 3.734 3.507 3.482 3.476 3.476 3.476	12.80 7.470 6.002 4.005 3.710 3.669 3.658 3.657 3.657	13.80 8.483 6.786 4.437 4.043 3.975 3.953 3.949 3.949	14.99 9.264 7.394 4.770 4.303 4.214 4.182 4.175 4.175	18.22 11.32 8.951 5.593 4.941 4.796 4.735 4.720 4.719	31.67 17.64 13.01 7.238 6.179 5.930 5.817 5.784 5.783

висновки

На підставі аналізу табл.2, можна побачити, що числа Нуссельта для 0<N<1 виходять на асимптотичне значення, починаючи з , а для 1<N<7 - починаючи з . Таке асимптотичне значення при N=1 для осесиметричної течії було отримане Нуссельтом (), що цілком добре узгоджується з значеннями, поданими в табл.2. Відзначимо, що описаним нами метод дає змогу легко в загальному випадку для отримувати такі асимптотичні значення, що є важливо для багатьох застосувань.

ЛІТЕРАТУРА

1. Дж. Астарита, Дж. Маруччи. Основы гидромеханики неньютоновских жидкос­тей/ Пер. с англ. – М.: Мир, 1978. – 309с.

2. Численные методы анализа и метод конечных элементов. –М.: Стройиздат, 1982, - 447 с.

3. Ковективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы/ Пер. с англ. – М.: Мир, 1987. – 592с.

4. P. Hrycak, O. Kossak, C. Wei. Thermal Entry Problem of Power Law Non-Newtonian Fluids Extended to Higher Eigenvalues// Proceedings of the Ninth International Conference held at Atlanta, 1995, Volume 9, Part 1, p 696-707.

HEAT TRANSFER IN DUCT for hydrodynamically fluids

О.Коssак, P. Hrycak

Ivan Franko National University of Lviv

Universytetska str, 1, Lviv, 79000, e-mail: *****@***

New Jersey Institute of Technology, Newark, New Jersey, USA. van Franko National

Heat transfer to polymer solutions and melts, and also to shear-thickening fluids, flowing in round pipes and in ducts with parallel walls, can be treated successfully with techniques developed for power-law fluids. The power-law concept has proved itself as very versatile and useful, since it can represent fluid behavior correctly over a wide range of shear rates, considered adequate for most applications. Because it contains only two experimental constants (m and N), it is also a simp­lest type of equation possible for analysis of non-Newtonian fluids. It is stated here in the form of the Ostwald-Reiner equation for shear stress, together with the associated velocity distribution, as

,,

here N may range from 0 to , and notation n= 1/N is also found in the literature. For N=1 (Newtonian flow), m reduces to the regular dynamic viscosity.

Flow is considered as fully–developed laminar and physical properties as temperature independent. Both round pipe flow and flow in the infinite channels are studied, under thermal entry conditions.

First five eigenvalues for selected N-values are calculated by means of Finite Element Method, and the corresponding Nusselt numbers are determined for different non-Newtonian fluid types.

Key words: Non-Newtonian fluids, reological law, Nusselt Numbers, Finite element method.

© 2001