Построение фракталов

Минская область

Борисовский район

Государственное учреждение образования

«Лошницкая районная гимназия»

Исследовательская работа по математике

Построение фракталов

Авторы: ,

учащаяся 11 класса

Руководитель: ,

учитель математики

Лошница, 2010

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 3

Актуальность выбранной темы.. 3

Обзор литературы по теме. 3

Объект исследования.. 3

Предмет исследования.. 4

Цель: 4

Задачи: 4

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.. 5

Эмпирическая основа исследования.. 5

Описание путей и методов исследования.. 5

1. Изучение библиографии. 5

2. Наблюдение. 5

3. Варьирование. 7

Результаты исследований.. 7

Достоверность полученных результатов.. 10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 11

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ... 17

ВВЕДЕНИЕ

«Геометрию часто называют холодной и сухой. Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности».

В связи с этим высказыванием американского математика Бенуа Мандельброта мы считаем актуальным опробовать и исследовать фрактальную графику, как одно из понятий, связующих математику и физику.

Формирование понятий

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие, в самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Не вдаваясь в математические тонкости можно сказать, что фракталы это самоподобные структуры. То есть, взяв отдельную часть изображения фрактала, можно в ней обнаружить все то же самое, что и в основном изображении.

Степень разработанности проблемы

В данное время фракталы находят широкое применение в машинной графике и создании рельефа местности. Однако, полностью их исследовать невозможно, так как все, что создано, не исчерпывает фрактального многообразия, а значит, степень разработанности проблемы можно определить как недостаточную.

Объектом исследования стала фрактальная графика.

Предметом исследования стали программы для построения фракталов: RPSFract, Apophysis, XaoS, Fractal builder.

- Получение новых видов фракталов.

- Исследовать фракталы.

- Изучить фрактальные зависимости.

- Классифицировать фрактальные множества.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Основу исследования составили результаты работы программ для построения фракталов (RPSFract, Apophysis, XaoS, Fractal builder).

В ходе выполнения работы использовались следующие методы:

1. Изучение библиографии

Своим появлением на свет и популярностью фракталы обязаны математику Бенуа Мандельброту. Мандельброта в том, что ему удалось собрать вместе, назвать и сделать всеобщим достоянием разрозненные сведения, первое появление которых относится к началу XX века. Сначала существовавшие как плод воображения математиков, фракталы были найдены в реальных объектах окружающего мира. Очертания гор, границы материков, русла горных рек, береговая линия и многое другое - все это фракталы.

Говоря о фракталах, часто имеют в виду фрактальную кривую, обладающую нецелой (дробной) размерностью (1<D<2). Таким образом, фрактальная кривая - это геометрический объект, объединяющий в себе свойства линии и плоскости, в тоже время не являющийся ни тем, ни другим.

В 1988 году профессор Тартуского университета Э. Славин составил программу на Бейсике для домашнего отечественного компьютера БК 0010 и получил изображения множества Мандельброта.

2. Наблюдение

Появление и развитие компьютерной техники позволяет теперь наглядно и эффектно представить то, о чем сто лет тому назад математики могли только рассуждать и спорить. Созданные программы в доли секунды обсчитывают функции, строят фрактальные изображения, моделируют природные явления. Фракталы встречаются не только в математике, но и в литературе, биологии, физике, радиоэлектронике и, конечно же, IT-технологиях. Вот несколько примеров.

Физика.

Фракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике жидкостей и газов:

• динамика и турбулентность сложных потоков;

• моделирование пламени;

• изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии.

Биология.

• моделирование популяций;

• биосенсорные взаимодействия;

• процессы внутри организма, например, биение сердца.

Литература.

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой.

В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

• неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации ("У попа была собака...", "Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится...", "Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение...")

• неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями ("У Пегги был веселый гусь...") и тексты с наращениями ("Дом, который построил Джек")

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

• венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)

• "рассказы в рассказе" ("Книга тысячи и одной ночи"), Я. Потоцкий ("Рукопись, найденная в Сарагоссе")

• предисловия, скрывающие авторство (У. Эко "Имя розы")

• Т. Стоппард "Розенкранц и Гильдернштейн мертвы" (сцена с представлением перед королем)

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому:

• "В кругу развалин"

• Х. Кортасар "Жёлтый цветок"

• Ж Лерек "Кунсткамера".

Фрактальные антенны.

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Сжатие изображений.

Существуют алгоритмы для сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на теореме Банаха о сжимающих преобразованиях (также известной как Collage Theorem) и являются результатом работы исследователя Технологического института штата Джорджия Майкла Барнсли.

Идея заключается в следующем: предположим, что исходное изображение является неподвижной точкой некоего сжимающего отображения. Тогда можно вместо самого изображения запомнить каким-либо образом это отображение, а для восстановления достаточно многократно применить это отображение к любому стартовому изображению.

В компьютерной графике это используется при создании изображений сложных, похожих на природные, объектов: например, облаков, снега, мусорных куч, береговых линий и др.

Децентрализованные сети.

Система назначения IP адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а, следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

3. Варьирование

Метод варьирования заключается в изменении параметров функции, задающей фрактал в ранее упомянутых программах. В результате во фрактальных картинах изменялись размер, форма и цвет.

В результате исследования фракталов нашлись несколько классификаций:

Фракталы делятся на:

• геометрические,

• алгебраические,

• стохастические.

Та же классификация, но с учетом упорядоченности:

• детерминированные (алгебраические и геометрические),

• недетерминированные (стохастические).

По источнику возникновения:

• рукотворные (придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами),

• природные (накладывается ограничение на область существования — максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства).

Подробнее о предмете нашего исследования.

Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Примеры:

• кривая дракона;

• снежинка Коха;

• кривая Леви;

• треугольник Серпиньского;

• коврик Серпиньского;

• губка Менгера;

• дерево Пифагора.

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор (устойчивое состояние) и т. д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Примеры:

• множество Мандельброта;

• множество Жюлиа;

• бассейны Ньютона;

• биоморфы.

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. К этому классу фракталов относится и фрактальная монотипия, или стохатипия. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение». При этом получаются объекты, очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т. д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Примеры:

• Плазма. Для её построения возьмём прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваем их в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Прямоугольник разбиваем на 4 равных, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее процесс повторяется. Чем больше случайное число — тем более «рваным» будет рисунок.

• Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа строится по обычному алгоритму, за исключением того, что при вычислении на каждой итерации добавляются случайные величины.

Достоверность результатов исследования обеспечивается:

• практическим подтверждением основных положений исследования;

•тщательной обработкой полученных в ходе исследования данных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведение итогов. Выводы

Одно из главных применений фракталов - это машинная графика. С их помощью можно создать (описать) поверхности очень сложной формы, и, изменяя всего несколько коэффициентов в уравнении, добиваться практически бесконечных вариантов конечного изображения. Фрактальная геометрия незаменима при генерации зскусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически, найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых очень похожи на природные.

Практическая значимость полученных результатов

Фракталы встречаются во всех сферах жизни человека. Зозможно, если бы люди научились использовать природу фракталов в своих целях, они перешли бы на высшую стадию развития.

Научная новизна полученных результатов

Изображения фрактальных зависимостей и описательные модели природных процессов, полученные в ходе исследования, аналогов не имеют и являются интеллектуальной собственностью авторов исследования.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Кривая дракона

Снежинка Коха

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Кривая Коха

Треугольник Серпиньского

Коврик Серпиньского

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Множество Мандельброта.

Множество Жюлиа

Бассейны Ньютона

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

Рандомизированный фрактал

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

Программы для генерации фрактальных изображений

• Ultra Fractal — пожалуй, самая мощная программа, предназначенная для создания и анимации изображений по фрактальному алгоритму;

• Fractal Explorer — одна из лучших на сегодняшний день программ для создания изображений фракталов;

• XaoS — многоплатформенный генератор фракталов, позволяет приближать и удалять картинку в реальном времени;

• Fractum — очень мощная многоплатформенная программа, развитие которой, к сожалению, давно остановилось;

• Chaoscope — программа трёхмерной визуализации странных аттракторов;

• Apophysis — программа для создания fractal flames. Fractal flames является расширением IFS фракталов;

• RPS/Fract — несложный бесплатный генератор фракталов для платформы Pocket PC (PDA);

• P.Fract — несложный бесплатный генератор фракталов для платформы Palm (PDA);

• EyeFract

• Мfract

• Gnofract

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.

2. Пайтген, Х.-О., X. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.

3. Федер, Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.

4. Фоменко, геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.

5. Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988,

6. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.

7. Мандельброт Бенуа, Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — M.: «Вильяме», 2006. — С. 400. ISBN -8