Треугольник

ТРЕУГОЛЬНИК

7А, гимназия №38, г. Караганда

рук.

Треугольник, простейший и неисчерпаемый.

Древнегреческий историк Геродот оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия – «землемерие» (от греч. «гео» - «земля» и «метрео» - «измеряю»).

Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологи рассчитывали расположение небесных светил – все это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике.

Знакомый всем треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, т. е. простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезкам, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости.

ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

Основными элементами треугольника АВС являются вершины – точки А, В и С; стороны – отрезки а=ВС, b=АС и с=АВ, соединяющие вершины; углы, образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, - буквами А, В и С (рис. 1). Кроме этих основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами, прежде всего средние линии, медианы, биссектрисы и высоты (рис. 2,а).

Средние линии – это отрезки. Соединяющие середины двух сторон. Три средние линии треугольника образуют «вписанный» в него треугольник, называемый серединным.

Медианы (от лат. mediana – «средняя») – отрезки, соединяющие вершины треугольник с серединами противоположных сторон.

Биссектрисами (от лат bis – «дважды» и seco – «рассекаю») называют заключенные внутри треугольника отрезки прямых, которые делят пополам его углы.

Высоты представляют собой перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны. Точка пересечения высоты со стороной треугольника называется основание высоты. Ели один из углов при стороне треугольника тупой, то опущенная на нее высота падает на продолжение стороны (рис. 2, б).

Название элементов треугольника – всех его отрезков и углов – в то же время являются и названиями их величин (так, например, вместо «длина биссектрисы равна а» говорят просто «биссектриса равна а»).

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

При определении вида треугольника учитывают величины его углов и наличие равных сторон. По первому из этих признаков треугольники делят на остроугольные – у них все углы острые, прямоугольные – с прямым углом и тупоугольные – с тупым углом (рис. 3). У любого треугольника сумма углов равно развернутому гулу, или 1800, а потому только один из его углов может не быть острым.

Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

По наличию равных сторон различают три вида треугольников (рис. 4). У равносторонних (или правильных) треугольников все три стороны равны. Равнобедренные треугольники имеют две равные стороны; эти стороны называют боковыми, а третью сторону – основанием. Все остальные треугольники – разносторонние.

Те же виды получаются, если сравнивать треугольники по степени их симметричности. Вы режем из бумаги два абсолютно одинаковых треугольника. Если они разносторонние, то их можно будет точно совместить друг с другом лишь одним-единственным способом; а если равносторонние – то шестью способами. (Чтобы правильно подсчитать способы, пометьте вершины треугольников буквами и проследите, как они совмещаются).

Равносторонние треугольники, по существу, все одинаковы – они имеют одну и ту же форму и могут отличаться друг от друга лишь размерами. Равнобедренные же треугольники оказываются той очень удобной ступенькой, на которую нетрудно подняться, когда только-только приступают к изучению геометрии. А с этой ступеньки уже открывается возможность дальнейшего движения вперед.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

В одной из первых теорем «Начал» Евклида сформулировано основное свойство равнобедренного треугольника: углы при его основании равны.

Доказательство этой теоремы приписывают Фалесу Милетскому, жившему за два века до Евклида. Впоследствии теорема получила название Pons asinorum, что на латыни означает «мост ослов». Объясняют такое название, с одной стороны, тем, что чертеж использованные Евклидом для ее доказательства, напоминает мостик, а с другой – мнением, будто только ослы не могут этот мостик перейти (рис. 5). (Впрочем, в современном английском языке латинское выражение «pons asinorum» употребляется в несколько ином смысле – как «суровое испытание способностей неопытного человека»).

Обычно для доказательства равенства углов при основании равнобедренного треугольника используют его симметричность. Треугольник можно перевернуть и наложить на себя так, что каждая из боковых сторон совпадет с другой; тогда и углы при основании совместятся друг с другом. Верна и обратная теорема:

Если углы при основании треугольника равны, то он равнобедренный.

Таким образом, равенство углов при основании треугольника – это признак, т. е. достаточное условие того, что он равно бедренный.

Есть и другие признаки. Например, треугольник будет равно бедренным, если любые два из трех отрезков – медиана, высота или биссектриса, проведенные к основанию, равны. Вот еще три признака:

Если в равно бедренном треугольнике равны две медианы, или две высоты, или две биссектрисы, то такой треугольник равнобедренный.

Первые два признака доказываются просто. Однако последний, или теорему о том, что треугольник, имеющий две равные биссектрисы, является равнобедренным, доказать довольно сложно. Это так называемая теорема Штейнера-Лемуса. Интересно, что остался в истории математики исключительно потому, что в 1840 г. Прислал швейцарскому геометру Якобу Штейнеру письмо с просьбой дать геометрическое доказательство данного факта.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Треугольника АВС и А1В1С1 называются равными, если они имеют соответственно равные стороны и углы, т. е. сторона АВ равна стороне А1В1 угол при вершине А первого треугольника равен углу при вершине А1 второго треугольника и т. д. Это равно сильно следующему определению, применимому к любым фигурам: треугольники равны, если существует движение, переводящее один из них в другой.

Равенство двух треугольников, т. е. всех их шести основных элементов, можно вывести из равенства некоторых трех элементов. Соответствующие теоремы называются признаками равенства треугольников. Приведем три таких основных признака:

Если у двух треугольников равны две стороны и угол, заключенный между ними. То эти треугольники равны.

Это означает, что равны их третьи стороны и прилежащие к ним углы.

Второй признак:

Треугольники равны, если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого.

Предание достоверность которого вряд ли можно проверить, связывает доказательство этого факт с именем Фалеса.

Третий признак:

Если стороны двух треугольников соответственно равны, то равны и сами треугольники.

Помимо трех основных признаков равенства треугольников можно указать немало других. Как правило, два треугольника равны, если у них равны любые три соответствующих элемента, причем не обязательно только стороны и углы. Но данное утверждение справедливо не всегда. Например, «признак» равенства треугольников по двум сторонам и углу, лежащему напротив одной из них неверен. Однако если известно, то сторона противолежащая рассматриваемому углу, не меньше другой стороны то треугольники равны, что следует из рисунка 6, иллюстрирующего построение треугольника по этим элементам.

Для равенства прямоугольных треугольников достаточно потребовать равенства любых двух элементов (помимо прямого угла), если хотя бы одни из них – сторона. Всего получается пять различных признаков: например, по одному из катетов и гипотенузе, двум катетам гипотенузе и одному из острых углов и т. д.

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Если в качестве трех элементов произвольного треугольника взять его углы, то возникает совсем другая ситуация: существует бесконечно много попарно неравных треугольников с углами, равными углам данного треугольника. Дело в том, что, зная три угла, мы на самом дела знаем только два независимы элемента треугольника: равенство двух пар углов двух треугольников гарантирует равенство их третьих углов. Этот факт следует из уже упоминавшейся теоремы о сумме углов треугольника:

У любого треугольника сумма углов равна развернутому углу или 1800.

Теорема о сумме углов треугольника была известна пифагорейцам, по крайней мере для правильного треугольника. Они выводили ее из того факта, что плоскость можно покрыть (замостить) равными правильными треугольниками без пробелов и перекрытий. Это верно и для треугольников произвольной формы (рис. 7). В любом узле образующейся треугольной сетки сходится шесть углов, среди которых каждый угол треугольника встречается ровно два раза. Таким образом, сумма всех этих шести углов, т. е. удвоенная сумма углов треугольника равна полному углу – 3600.

В некоторых случаях вместо теоремы о сумме углов удобнее использовать равносильное ей свойство внешнего угла треугольника, т. е. угла, образованного стороной и продолжением другой стороны:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 8).

Теорема о сумме углов треугольника – факт, характерный именно для евклидовой геометрии. Например, на поверхности шара сумма углов треугольника может принимать разные значения, но всегда большие 1800. Кроме того, для треугольников на сфере справедлив признак равенства по трем углам.

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ

Говорят, что треугольники подобны, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны. Каждый из двух подобных треугольников можно перевести в другой отображением, при котором все расстояния изменяются в одинаковое число раз (это свойство определяет подобие произвольных фигур).

Простейший случай подобия возникает, когда в треугольнике проводят среднюю линию. Отрезаемый ею маленький треугольник имеет то те же углы и вдвое меньшие стороны, чем исходный (рис. 9). Из этого следует теорема о средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника, которая соединяет его боковые стороны, равна половине основания и параллельна ему.

Подобие треугольников можно установить с помощью трех признаков, которые соответствуют признаками равенства треугольников:

Два треугольника подобны:

1) если они имеют по равному углу и отношения заключающих его сторон равны;

2) если их соответственные углы равны (остаточно равенства двух пар углов);

3) если их соответственные стороны пропорциональны.

Эти признаки часто применяются в доказательствах теорем в том числе теорем о замечательных точках и линиях треугольника.

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ, ПРЯМЫЕ И ОКРУЖНОСТИ

Описанная окружность. Так называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника. Ее центр обычно обозначают буквой О, а радиус – R (рис. 10). Чтобы убедиться в том что такая окружность существует и является единственной для любого треугольника, обратите внимание: центр О – общая вершина трех равно бедренных треугольников, основания которых – стороны данного треугольника. Высоты этих треугольников, опущенные на основания, служат одновременно и их медианами. Таким образом, центр описанной окружности лежит на пересечении трех перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных в их серединах. Они так и называются – серединные перпендикуляры. И обратно: поскольку каждый из трех серединных перпендикуляров к сторонам треугольника состоит из точек, равно удаленных от концов стороны к которой он проведен, точка пересечения любых двух из них находится на одинаковом расстоянии от всех трех вершин, а значит, лежит на третьем перпендикуляре.

Итак, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в оной точке – центре описанной вокруг него окружности. О остроугольном треугольнике цент описанной окружности лежит внутри его, в прямоугольном – на гипотенузе, а у тупоугольного треугольника – вне его.

Биссектрисы, вписанная и вневписанные окружности. Вписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся всех его сторон (рис. 11). Другими словами, центр I вписано окружности удален от всех трех сторон треугольника на одно и то же расстояние r, равное ее радиусу. Множество точек внутри треугольника, равноудаленных от двух его сторон, есть биссектриса угла, образованного этими сторонами. Поэтому доказать, что вписанная в треугольник окружность существует и она единственная, можно так же как было сделано в случае описанной окружности, только равноудаленность центра окружности от вершин надо заменить равноудаленностью от сторон, а серединные перпендикуляры – биссектрисами. Попутно устанавливается, что все три биссектрисы имеют единственную общую точку – цент I.

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника (рис. 12), называются вневписанными. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Таким образом, шесть биссектрис треугольника пересекаются по три в четырех точках – центрах вписанной и трех вневписанных окружностей.

Высоты. Прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника (рис 13, а), в прямоугольном – совпадает с вершиной прямого угла а в тупоугольном – находится вне треугольника на пересечении продолжений высот (рис. 13, б).

Если Н – ортоцентр треугольника АВС, то любая из четырех точек А, В, С и Н является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.

Докажем, что ортоцентр треугольника существует. На рисунке 14 треугольник АВС – это серединный треугольник для А1В1С1; значит, высоты первого треугольника являются серединными перпендикулярами второго. Следовательно, они пересекаются в центре Н описанной около второго треугольника окружности. И этот центр совпадает с ортоцентром треугольника АВС.

Рисунок помогает вывести теорему о высотах из теоремы о биссектрисах Поскольку биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны на рисунке любой из центров четырех окружностей (вневписанных и вписанной) является ортоцентром треугольника с вершинами в трех других центрах а точки А, В и С служат основаниями его высот. Можно как бы «перевернуть» это наблюдение доказать, что высоты произвольного треугольника – биссектрисы ортотреугольника, т. е. треугольника, образованного основаниями высот. Отсюда следует, что они имеют общую точку.

Медианы. Можно доказать, что точка Р, расположенная внутри треугольника АВС, лежит на медиане проведенной к стороне ВС тогда и только тогда, когда площади треугольников РАВ и РАС равны (рис. 15, а). Исходя из этого и рассуждая так же, как при доказательствах теорем о биссектрисах и серединных перпендикулярах треугольника, убеждаемся в том, что и медианы пересекаются в одной точке – М (рис. 15, б), причем все три треугольника, МАВ, МВС и МСА, имеют равную площадь, или равновелики. Более того, в любом треугольнике точка М делит каждую медиану в одном и том же отношении 2:1, считая от вершины.

Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадет именно в эту точку. Центр равных масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан – центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы острие последней попало точно в центроид, то пластинка будет находиться в равновесии. Любопытно, что центр масс проволочного треугольного контура совпадает с другой точкой – с центром вписанной окружности его серединного треугольника.

Изогональные точки. Есть и другая интересная взаимосвязь между ортоцентром и центром описанной окружности треугольника. Можно показать что:

Прямые, симметричные высотам относительно соответствующих биссектрис, проходят через центр описанной окружности,

т. е. содержат ее радиусы (рис. 16). Справедлива и более общая теорема:

Если три прямые, проведенные из вершин треугольника, пересекаются в одной точке, то и прямые, симметричные им относительно соответствующих биссектрис, тоже проходят через одну и ту же точку.

Подобные две точки называются изогональными. Таким образом, ортоцентр треугольника изогонален центру описанной окружности.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Формулы связывающие между собой длины отрезков, площади, величины углов и фигурах называют метрическими соотношениями. И пожалуй, самое знаменитое из таких соотношений – теорема Пифагора. Она устанавливает простую зависимость между сторонами прямоугольного треугольника:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Представить себе эту теорему отдельно от имени великого грека уже невозможно, но на самом деле соотношение, которое она утверждает, было известно древним математикам за много веков до Пифагора. О наиболее известном частном случае теоремы – «египетском треугольнике» со сторонами 3, 4 и 5 говорится в папирусе, который историки относят приблизительно к 2000 г. до н. э. То же соотношение встречается и на вавилонских клинописных табличках и в древнекитайских и в древнеиндийских трактатах. Однако в современной истории математики считается, что именно Пифагор дал его первое логически стройное доказательство.

Справедливо и утверждение, обратное теореме Пифагора:

Если стороны треугольника удовлетворяют равенству а2+b2=с2, то этот треугольник прямоугольный.

Действительно, если такое равенство выполняется для какого-то треугольника, то он будет равен по трем сторонам прямоугольному треугольнику с катетами а и b.

Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство и дальше – в многомерные пространства. Этим определяется ее исключительная важность для геометрии и математики в целом.