§3. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі. Граничні теореми

§3. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі. Граничні теореми.

В численних застосуваннях теорії ймовірностей часто зустрічається схема незалежних спроб (або схема Бернуллі).

3.1. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі.

Нехай проводиться скінченне число спроб, в результаті яких може з´явитися подія з певною ймовірністю , причому ймовірність не залежить від наслідків інших спроб. Такі спроби назвемо незалежними відносно події.

Обчислимо ймовірність того, що в результаті проведення незалежних спроб подія наступить рівно разів, якщо в кожній із спроб вона наступає із сталою ймовірністю або не наступає з ймовірністю . Позначимо шукану ймовірність , це означає, що в спробах подія з´явиться разів. Зауважимо, що тут не вимага-ється, щоб подія повторилася разів в певній послідовності. Для розв´язання поставленої задачі при великих значеннях і безпосереднє застосування теорем додавання і множення ймовірностей приводить до громіздких розрахунків, тому зручніше користуватися формулою Бернуллі, до виведення якої ми приступимо.

Ймовірність того, що подія в спробах з´явиться рівно разів, а в решті - спроб з´явиться протилежна подія , за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює . При цьому подія в спробах може з´явитися рівно разів в різних комбінаціях, число яких . Оскільки всі комбінації подій є подіями несумісними і нам байдуже, в якій послідовності з´явиться подія або подія , то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей несумісних подій, отримаємо формулу Бернуллі

==. (1)

Ймовірності називаються біномними , оскільки вони мають відношення до формули бінома Ньютона

++…++…++, або

+++…++…++=1.

Приклад 1. Гральний кубик підкидають тричі. Яка ймовірність того, що при цьому двічі випаде 6 очок?

Розв’язання. Нехай подія : при одному кидку випаде 6 очок. Ймовірність , відповідно . Тут Отже, за формулою (1)

=

Цей результат потрібно трактувати так: якщо такий дослід проводити багато разів, то в середньому в 5 випадках із 72 грань з 6 очками випаде рівно два рази.

3.2. Найімовірніше число появ події.

Найімовірнішим числом появ події в незалежних спробах називається число, для якого ймовірність перевищує або принаймні не менша ймовірності кожного з решти можливих наслідків спроб.

Нехай цьому числу відповідає ймовірність

=. (2)

Тоді, за означенням числа , ймовірності та не повинні перевищувати , тобто повинні виконуватися умови

, (3)

. (4)

Із нерівності (3) маємо

,

або після спрощення , звідки

. (5)

Аналогічно із (4) маємо

,

або , звідки

. (6)

Об’єднавши нерівності (5) і (6), отримаємо подвійну нерівність

, (7)

з якої і визначається найімовірніше число появ події.

Зауважимо, що довжина інтервала (7) дорівнює 1: =

Тому, якщо межі цього інтервала - дробові числа, то отримаємо тільки одне значення , якщо ж межі є цілими числами, то отримаємо два значення найімовірнішого числа

= та =.

Приклад 2. Підприємство випускає 85% продукції вищого гатунку. Знайти найімовірніше число виробів вищого гатунку в партії із 150 виробів.

Розв’язання. Тут Із нерівності (7) маємо

або . Звідки

Варто відзначити особливу роль числа - в певному сенсі його можна трактувати як середнє число появ події в спробах.

Для великих значень безпосереднє застосування формули Бернуллі є нераціональним, тому для обчислення ймовірності використовують інші, так звані асимптотичні, формули, що базуються на граничних теоремах.

3.3. Локальна теорема Муавра – Лапласа.

Якщо ймовірність появи події в кожній спробі стала і така, що , то ймовірність числа появ події в спробах обчислюється за формулою

, (8)

де .

Функція - парна, для неї складені таблиці значень при .

Приклад 3. Яка ймовірність того, що подія наступить рівно 80 разів в 400 спробах, якщо ймовірність появи події в кожній спробі

Розв’язання. Тут Обчислимо та :

==8. За таблицею значень функції знаходимо Отже, Підрахунок за формулою Бернуллі дає

3.4. Інтегральна теорема Муавра – Лапласа.

Якщо ймовірність появи події в кожній спробі стала і така, що , то ймовірність того, що подія з’явиться в спробах від до разів, обчислюється за формулою

, (9)

або , (10)

де , ; - функція Лапласа, вона непарна : , протабульована і для значень приймають 0,5.

Дійсно, розглянемо нерівність , або після очевидних перетворень

.

Звідки =()==.

Зауважимо, що формули (8)-(10) дають більш точний результат, якщо

Приклад 4. На підприємстві ймовірність випуску бракованих виробів дорівнює Перевіряють 500 виробів. Яка ймовірність того, що серед них бракованих буде від 10 до 20?

Розв’язання. Тут Обчислимо = Отже, за формулою (10) маємо

3.5. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності.

Нехай провели незалежних спроб, в результаті яких подія наступила рівно разів, тобто відносна частота появ події . В кожній із спроб подія наступає із сталою ймовірністю ( ). Потрібно обчислити ймовірність того, що відхилення відносної частоти появ події від ймовірності не перевищить деякого заданого числа , тобто ймовірність виконання нерівності . (11)

Позначимо шукану ймовірність .

Перепишемо нерівність (11) або .

Домножимо кожну з частин останньої нерівності на : .

Тоді за формулою (9)

= =.

Отже, . (12)

Приклад 5. Ймовірність появи події в кожній з незалежних спроб дорівнює . Скільки спроб треба провести, щоб з імовірністю 0,96 можна було стверджувати, що відносна частота події відхилиться від сталої ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,04?

Розв’язання. За умовою задачі ; ; ; . Потрібно знайти . За формулою (12) маємо або . За таблицею значень функції Лапласа знаходимо . Звідки Отже, потрібно провести не менше ніж 424 спроби.

3.6. Теорема Пуассона.

Точність формул (8)-(10) знижується, коли , тому для оцінки ймовірностей масових, але рідкісних () подій використовують теорему Пуассона.

Якщо в серії незалежних спроб , , але так, що добуток залишається сталим, то ймовірність обчислюється за формулою

. (13)

Формула (13) називається формулою Пуассона.

Дійсно, з формули Бернуллі (1) маємо

= ==

=

Перейшовши до границі, коли , отримаємо

=.

Отже, .

Для функції існують таблиці значень.

Якщо необхідно за умов теореми Пуассона обчислити ймовірність , то використовують другу формулу Пуассона

=. (14)

Приклад 6. Верстат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь бракована, дорівнює 0,01. Яка ймовірність того, що серед 200 деталей виявиться 4 бракованих?

Розв’язання. Тут

За формулою (13) отримаємо

Приклад 7. На телефонну станцію протягом однієї години поступає в середньому 30 викликів. Яка ймовірність того, що протягом хвилини поступить не більше двох викликів?

Розв’язання. Враховуючи, що 1 год=60 хв, . Шукана ймовірність ++=++=0,98.