Зростання і спадання функції. Екстремуми

Зростання і спадання функції. Екстремуми.

1. Необхідні умови зростання і спадання функції.

Доведемо спочатку теорему про необхідну умову зростання функції на інтервалі.

Теорема 1. Якщо диференційована функція f (x), xÎ(a; b) зростає на інтервалі (a; b), то для будь-якого х із інтервалу (a; b).

Доведення. Згідно з означенням зростаючої на (a; b) функції, якщо х>х0, то f (х)> f (х0), а якщо х<х0, то f (х)< f (х0). Отже, для будь-яких х0 і х із (a; b), х¹х0, справедлива нерівність

Оскільки f (х) диференційована на (a; b), то, переходячи до границі в останній нерівності при х®х0, дістанемо:

Теорему доведено.

Розглянемо тепер теорему про необхідну умову спадання функції на інтервалі.

Теорема 2. Якщо диференційована функція f (х), xÎ(a; b), спадає на інтервалі (a; b), спадає на інтервалі (a; b), то для будь-якого х0 з інтервалу (a; b).

Доведення. Оскільки функція f (х) спадна, то функція F(x)=-f(x) зростаюча, і тому, за теоремою 1, для будь-якого x0Î(a; b). Звідси випливає, що для будь-якого x0Î(a; b). Теорему 2 доведено.

Інтервали, на яких функція зростає або спадає, називаються інтервалами монотонності цієї функції. Зауважимо без доведення, що якщо функція f (х) зростаюча (спадна) на інтервалі (a; b) і неперервна в точках a і b, то вона буде зростаючою (спадною) і на відрізку [a; b].

2. Теорема Лагранжа. Достатні умови зростання і спадання функції.

При доведенні теорем про достатні умови монотонності функція переважно використовується теорема, яку називають теоремою Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f (х), xÎ[a; b], неперервна на відрізку [a; b] і диференційована на інтервалі [a; b], то знайдеться точка сÎ(a; b) така, що має місце формула (1)

Ми наводимо теорему Лагранжа без доведення, пояснимо лише геометричний зміст цієї теореми. На графіку функції розглянемо точки A(a; f(a)) i B(b; f(b)). Неважко помітити, що кутовий коефіцієнт січної (АВ), яка проходить через точки А і В, дорівнює , Запишемо формулу (1) в такому вигляді . (2)

Згадуючи геометричний зміст похідної, можна сказати, що формула (2), а отже, й формула (1) означають таке: на інтервалі (a; b) знайдеться точка с така, що кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці С з абсцисою, яка дорівнює с, збігається з кутовим коефіцієнтом січної (АВ), тобто існує дотична до графіка заданої функції, яка паралельна січній (АВ).

Достатні умови зростання і спадання функції.

Теорема 1. Якщо функція має додатню похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то функція зростає на інтервалі (a; b).

Доведення. Нехай х1 і х2 – дві довільні точки інтервалу (a; b), які задовольняють умови х1<х2. Тоді, за теоремою Лагранжа, існує така точка сÎ(х1;х2) така, що

Оскільки за умовою теореми i x2-x1>0, то з останньої формули випливає, що (х2)>(х1). Останнє, згідно з означенням зростаючої функції, означає, що функція зростає на інтервалі (a; b). Теорему доведено.

Аналогічно доводять і наступну теорему про достатню умову спадання функції.

Теорема 2. Якщо функція має від’ємну похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то функція спадає на інтервалі (a; b).

Приклад 1. Знайти інтервали монотонності функції

Розв’язання. Задана функція визначена й диференційована на всій числовій прямій, причому . Оскільки f /(x)>0 для , то згідно з теоремою 2, задана функція зростає на інтервалах і . Оскільки f /(x)<0 для , то згідно з теоремою 2, задана функція спадає на інтервалі. .

Правило знаходження інтервалів монотонності.

1) Обчислимо похідну заданої функції , а потім знаходимо точки, в яких дорівнює нулю або не існує. Ці точки називаються критичними для функції .

2) Критичними точками область визначення функції розбивається на інтервали, на кожному з яких похідна зберігає свій знак. Ці інтервали є інтервалами монотонності.

3) Дослідимо знак на кожному із знайдених інтервалів. Якщо на даному інтервалі , то на цьому інтервалі зростає, якщо ж, то на цьому інтервалі спадає.

3. Екстремуми функції. Необхідні умови існування екстремуму.

Означення 1. Точка х0 з області визначення називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий -окіл точки х0, що для всіх х¹х0 з -околу виконується нерівність >.

Означення 2. Точка х0 з області визначення функції називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий -окіл точки х0, що для всіх х¹х0 з -околу виконується нерівність <.

Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в точках максимуму і мінімуму називають максимумом і мінімумом функції або екстремумами функції.

Необхідна умова існування екстремуму.

Теорема Ферма. Якщо точка х0 є точкою екстремуму функції у=, визначеної в деякому околі точки х0, і в цій точці існує похідна , то вона дорівнює нулю: =0

Доведення. Для визначеності вважатимемо, що екстремальна точка х0 – точка максимуму. Згідно з означенням це означає, що існує -окіл точки х0 такий, що для всіх х¹х0 з -околу виконується нерівність < .

За умовою теореми функція має в точці х0 похідну. Тому, з одного боку,

тому що х - х0 < 0 і - < 0 для всіх хÎ; а з другого боку,

тому що х - х 0 > 0 і - < 0 для всіх хÎ .

Отже, =0

Доведення для точки мінімуму проводять аналогічно.

Зауваження. В теоремі Ферма встановлено лише необхідну умову існування екстремуму. Ця умова дає змогу лише виділити точки, в яких функція може мати екстремум. Це означає, що не будь-яка критична точка буде екстремальною. Наприклад, функція має в точці х=0 похідну, що дорівнює нулю, але для цієї функції точка х=0 не буде екстремальною.

4. Достатня умова існування екстремуму.

Теорема 1. Нехай функція неперервна в точці х0 і в її -околі має похідні, крім, можливо, самої точки х0. Тоді

а) якщо похідна при переході через точку х0 змінює знак з плюса на мінус, то точка х0 є точкою максимуму функції ;

б) якщо похідна при переході через точку х0 змінює знак з мінуса на плюс, то точка х0 є точкою мінімуму функції ;

в) якщо похідна при переході через точку х0 зберігає свій знак, то в точці х0 задана функція екстремуму не має.

Доведення. Нехай похідна при переході через точку х0 змінює знак з плюса на мінус. Це означає, що існує число >0 таке, що >0 для всіх х з інтервалу і <0 для всіх х з інтервалу . Оскільки >0 для xÎ, то за теоремою 1 з п. 1 випливає, що на інтервалі функція зростає. Отже, < для всіх х з інтервалу . Оскільки <0 для , то за теоремою 2 з п. 1 слідує, що на інтервалі функція спадає. Тому <для всіх х з інтервалу . Таким чином, маємо < для всіх х¹х0 з інтервалу , тобто згідно з означенням точка х0 є точкою максимуму функції .

Доведення випадків б) і в) аналогічне.

Правило знаходження екстремумів функції.

Нехай визначена і неперервна в деякому інтервалі (a; b), має похідну всюди на інтервалі (a; b), крім, можливо, скінченного числа стаціонарних точок. Тоді для знаходження екстремумів функції потрібно:

1) Знайти критичні точки функції , тобто точки, в яких або , або не існує.

2) Дослідити знак похідної в деякому -околі кожної критичної точки. Якщо змінює знак при переході через таку точку, то функція в цій точці має екстремум. А саме, якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то в цій точці мінімум; якщо з плюса на мінус, то в цій точці максимум. Якщо ж знак не змінюється при переході через задану точку, то функція не має екстремуму в цій точці.

Приклад 1. Знайти екстремуми функції xÎR.

Розв’язання.

1) Обчислимо похідну заданої функції і знайдемо критичні точки: =0, якщо ; не існує в точці х=0.Отже, критичні точки х1=0 і .

2) Дослідимо знак похідної в деякому околі кожної критичної точки. Результат дослідження заносимо в таблицю.

х		х=0	0<х<		<х<
	+	не існує	–	0	+
	зростає	0	спадає	»-2,03	зростає
		максимум		мінімум

Завдання для самостійної роботи

Знайти проміжки зростання і спадання та екстремуми функцій і зробити малюнок.

а); б) ;

в), г)