Матричный метод расчета характеристик многослойных диэлектрических зеркал

В работе [1] была найдена функциональная зависимость для матричных элементов матрицы слоя среды, действующей на вектор волны электрического поля в случае нормального падения.

, (1)

, (2)

. (3)

Обычно многослойная система [2] диэлектрических зеркал состоит из чередующихся однородных слоев с низким и высоким (или наоборот) показателем преломления и , с разными толщинами, нанесенных на подложку с показателем преломления .

 

 

······

 

u0 u1 u2 u1 u2 u1 u2 u1

Рис. 1.

Для четвертьволновых пленок толщины их соответствуют таким значениям

. (4)

Подставив значения толщин (4) пленок в матричные элементы (1) – (3), получим матрицы, соответствующие двум пленкам с показателем преломления .

, (5)

. (6)

Согласно рис.1 для матрицы двух соседних пленок с показателем преломления структура напыленных пленок повторяющаяся. Найдем эту матрицу.

. (7)

Детерминант и собственные значения матрицы (7) равны [3] соответственно

(8)

Матрицу (7) можно представить в таком виде [3].

, (9)

где преобразующая и обратная ей матрицы равны соответственно

(10)

(11)

. (12)

Так как структура пары напыленных пленок повторяющаяся, для совокупности четного числа пленок матрица равна, учитывая свойства матриц (9), (12).

, (13)

где N – число пар напыленных пленок с разным показателем преломления.

Расписав произведение матриц в правой части соотношения (13) с учетом функциональных зависимостей (8), (10), (11), получим явный вид матрицы четного числа пленок.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

. (14)

Матрица для нечетного числа пленок, согласно рис.1, находится из такого соотношения

. (15)

Здесь матрица четного числа пленок (14) умножается справа на матрицу пленки (5) с показателем преломления , так как матрица (5) взаимодействует с вектором волны электрического поля первой. Расписав произведение матриц соотношения (15), с учетом явного вида матриц (5), (14), получим.

. (16)

Коэффициент отражения четного числа напыленных пленок без подложки находится из такого соотношения [4]:

. (17)

Коэффициент отражения нечетного числа напыленных пленок без подложки имеет соответственно следующую функциональную зависимость:

. (18)

Коэффициент отражения четного числа напыленных на подложку пленок имеет такую функциональную зависимость:

, (19)

где для матричных элементов в (19) введено обозначение [4]:

(20)

Коэффициент отражения нечетного числа напыленных на подложку пленок имеет соответственно такую функциональную зависимость:

, (21)

где для матричных элементов в (21) введено обозначение (20).

Проанализировав полученные результаты функциональных зависимостей коэффициентов отражения зеркал в зависимости от числа напыленных четвертьволновых пленок, четного или нечетного их количества, величин показателей преломления веществ пленок можно прийти к выводу:

1. с увеличением количества напыленных пленок коэффициент отражения зеркал растет,

2. чет – нечет количества напыленных пленок меняет фазу отраженной волны на противоположную,

3. если напылить одну четвертьволновую пленку (формула 21) на подложку с меньшим показателем преломления, чем у подложки, можно получить просветление (коэффициент отражения равен нулю) при условии:

, (22)

4. напыление пленок с показателем преломления подложки не меняет коэффициента отражения напыленной подложки.

Литература

1. , Макроструктурная матрица слоя оптической среды в микроструктурной модели взаимодействия волны электрического поля с веществом, 1–8, (2002).

2. М. Борн, Э. Вольф, Основы оптики, 93 – 95, (1970).

3. Косинский векторы, собственные значения, преобразующие и обратные матрицы матриц второго порядка, 1 – 6, (2002).

4. , Метод матриц в микроструктурной модели взаимодействия электрического поля с оптически неоднородной средой, 1 –7, (2002).