Матриці, дії над матрицями

Матриці, дії над матрицями.

Матрицею розміру називається таблиця, що складається з m рядків та n стовпчиків.

Іноді матриця A позначається не круглими дужками, а подвійними вертикальними відрізками , або квадратними дужками .

Матриця розмірності називається квадратною матрицею n-порядку. Елементи в цьому випадку утворюють головну діагональ матриці.

Визначник, який складений з елементів квадратної матриці, називається визначником (детермінантом) матриці і позначається так: det A, .

Квадратна матриця, в який на головний діагоналі стоять одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю, називаються одиничною і позначається E:

.

Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то таку матрицю називають нульовою і позначають 0.

Дві матриці і називаються рівними, якщо вони однакового розміру та рівні їх елементи, що стоять на однакових місцях.

Добутком числа на матрицю А за означенням є матриця:

Таким чином, щоб помножити матрицю А на число, потрібно кожний елемент матриці помножити на це число.

Сумою матриць А та В однакового розміру називається матриця С розміру елементи якого знаходяться так:

для всіх i та j.

Отже додавання матриць зводиться до додавання відповідних елементів цих матриць.

Віднімання цих матриць визначається через дії, які вже розглядалися

тобто віднімання двох матриць зводиться до віднімання їх відповідних елементів. Очевидно що віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Добутком матриці і називається матриця , елемент якої дорівнює сумі добутків i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпчика матриці В, тобто

Для добутку матриць в загальному випадку справедливе співвідношення:

, (якщо ж, звичайно, існує кожен із добутків).

Операції додавання матриць мають властивості:

1. A+B=B+A;

2. (A+B)+C=A+(B+C);

3. A+0=0+A=A

4. Якщо A+B=0, тоді B - протилежна до A матриця.

Операції множення матриць мають такі властивості:

1. ;

2. (AB)C=A(BC);

3. AE=EA=A;

4. (A+B)C=AC+BC;

C(A+B)=CA+CB.

Квадратна матриця це результат множення цієї матриці самої на себе.

Якщо в матриці поміняти місцями рядки і стовпчики, то дістанемо матрицю, яку називають транспонованою до матриці A.

Приклад 1. Для матриць

, ,

знайти матриці А+В, , , АВ, ВА.

Розв’язання:

;

;

.

Помічаємо, що .

Задача1. Підприємство випускає продукцію двох видів, використовуючи при цьому сировину трьох типів. Витати сировини на виробництво продукції задаються матрицею

де - кількість одиниць сировини і –того типу, що використовується на виготовлення одиниці продукції j –того виду. План щоденного випуску продукції передбачає 90 одиниць продукції першого виду і 120 одиниць продукції другого виду. Вартість одиниці кожного типу сировини відповідно дорівнює 8, 5 і 10 гр. од. Визначити загальні витрати сировини V, необхідної для щоденного випуску продукції, а також загальну вартість С цієї сировини.

Розв’язок. Запишемо план випуску продукції у вигляді матриці . Тоді загальні витрати сировини планового випуску продукції можна знайти як добуток матриці S і Р, тобто:

.

Отже, для щоденного випуску продукції використовується 930, 390 і 540 одиниць сировини першого, другого та третього типів відповідно.

Знайдемо вартість одиниці кожного типу сировини матрицею . Тоді загальна вартість сировини: .

Зауважимо, що застосування матриць в цій задачі привело до унаочнення, спрощення і компактності обчислень.

Завдання для самостійної роботи:

1. Для матриць

обчислити АВ+Е, , АВ-С.

2. Обчислити

а) ; б) ; в)