Тема уроку. Розв'язування трикутників

Урок

Тема уроку. Розв'язування трикутників.

Мета уроку. Повторити з учнями основні поло­ження теореми косинусів, синусів і наслідків з них, розвивати вміння розв'язувати трикутники і за­стосовувати їх при вирішенні практичних задач.

Тип уроку: Урок контролю знань, умінь і навичок

Обладнання: Картки із завданнями, опорні конспекти, задачі-малюнки, копіювальний папір, таблиця.

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань.

1. (Повідомляю учням, що сьогодні на уроці буде)Учитель повідомляє учням, що сьогодні на уроці буде підсумовано і систематизовано знан­ня з теми «Розв'язування трикутників» і показа­но застосування теореми косинусів і синусів для розв'язування задач практичного змісту.

2.Учитель ставить запитання:

• Сформулюйте теорему косинусів.

• Сформулюйте теорему синусів.

• Яку властивість для діагоналей паралелограма можна довести за допомогою теореми синусів?

• Як знайти радіус описаного навколо трикут­ника кола, використовуючи теорему синусів?

(За кожну правильну відповідь учень заносить (дістає) 1 бал)

За готовими на дошці ма­люнками усно розв'язуються задачі.

1. Який з кутів трикутника найбільший, а який найменший? Чому? (мал. 1).

Розв'язання.

Кут А — найбільший, а кут В — найменший (за наслідком з теореми синусів: у трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона, проти більшої сторони лежить більший кут).

2. Дано: ААВС — рівнобедрений (АВ = ВС);

кут В = = 20° (мал. 2); СD — бісектриса.

Який з відрізків більший — СА чи СD

Розв'язання.

СА < СD, оскільки у трикутнику АВС кут А= кут С = (180° - 20°): 2 = 80°,

кут DСА = 80°: 2 = 40°.

У трикутнику АDС кут АDС = 180° - 40° - 80° = 60°.

3. Дано: трикутник АВС — рівносторонній (мал. 3); R — радіус описаного кола. R= 4 см.

Знайти. Р АВС

Знайти помилки у записах:

(Учням роздаються картки, під копіювальний папір вони роблять запис в графі «Правильно» і здають листочки. Тут же виконуються самоперевірка)

II. Учитель ділить учнів на чотири групи, для кожної з яких підготував задачу практичного змісту, яку потрібно розв'язати. В кожній із зап­ропонованих задач необхідно вміти розв'язува­ти трикутники. Пригадуємо з учнями алгоритми
розв'язування трикутників. (Тема «Розв'язування трикутників» дається учням нелегко. Тому пропонуються спеціально складені алгоритми, які має кожен учень, що значно полегшує робо­ту на уроці і дуже допомагає дітям при виконанні домашніх завдань.)

Після повторення алгоритмів кожна група са­мостійно розв'язує запропоновану задачу.

Задача 1. Щоб визначити висоту фабричного димаря, до основи якого не можна підійти, ви­міряли довжину базису (відрізка АС), продовжен­ня якого перпендикулярне до висоти димаря

2.Застосуємо теорему синусів до трикутника ВАС

Відповідь. Висота фабричного димаря 19,7 м.

Задача 2. Треба визначити відстань між заво­дом А і залізничною станцією В, яка розташова­на на другому березі річки (мал. 9). АС = 100 м,

Розв'язання.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то АВ= 180° - 74° - 44° = 62°. Знаючи сторону і всі три кути, за теоремою синусів знаходимо сто­рону АВ:

Відповідь. Відстань між заводом А і залізнич­ною станцією дорівнює 78,7 метра.

Задача 3. Щоб визначити відстань між двома пунктами А і В, між якими пройти не можна, виб­рали третій пункт С так, щоб з нього було видно обидва пункти А і В (мал. 10). а = 100 м, в = 80 м, у = 60°. Знайти АВ.

Розв'язання.

Оскільки в трикутнику АВС відомі дві сторони і кут між ними, то третю сторону АВ знаходимо за теоремою косинусів:

Відповідь. Відстань між пунктами А і В дорів­нює 28,98 метра.

Після самостійної роботи груп розв'язання кож­ної із задач записується на дошці. Учні визнача­ють, до якого типу задач на розв'язування трикут­ників відноситься кожна із них.

III. Повідомлення учнів з історичних відомос­тей про доведення теорем косинусів і синусів, їх практичне застосування.

IV. Підбиття підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Учитель пропонує учням самостійно скласти і розв'язати задачу з даної теми.

Історична довідка

Теорема косинусів відома ще стародавнім грекам. У твердженнях 12 і 13 другої книги «Начал» Евкліда розгля­нуто питання про квадрати сторони трикутника, яка ле­жить проти гострого і проти тупого кута.

Безпосередньо для плоских трикутників теорему ко­синусів довів арабський астроном і математик Абу-л-Вафа (940—998). Дещо пізніше доводить і використовує цю тео­рему знаменитий середньоазіатський учений-енциклопедист Ал-Біруні ().

В Європі теорему косинусів по-справжньому оцінив і почав систематично використовувати знаменитий фран­цузький алгебраїст Франсуа Вієт (1540—1603).

Вважають, що теорему синусів вперше довів учитель Ал-Біруні, іранський математик Ібн-Ірак. Доведення цієї теореми зустрічається і в працях Ал-Біруні.

Теореми косинусів і синусів взаємопов'язані. З кож­ної з них можна вивести іншу, виконавши відповідні першонометричні співвідношення.

Практичне застосування задач на розв'язування трикутників

Під час складання карт земної поверхні відпо­відний район розбивається на трикутники так, щоб жодна із сторін не перевищувала 20 км (інак­ше буде значна помилка при обчисленнях).

У вершинах трикутників будують так звані тріангуляційні знаки (трикутні піраміди). Геоде­зисти вимірюють деякі частини елементів трикут­ників і «прив'язують» до цих трикутників насе­лені пункти, споруди і важливі деталі рельєфу. На основі таких вимірювань виконують розрахунки і будують карти та плани.

Відомо, що першим намагався використати тріангуляцію для вимірювання довжини земного меридіана голландський математик і астроном В. Снелліус (1580—1626). Тріангуляцію викорис­товували і при вимірюванні довжини дуги Паризь­кого меридіана.