Лекція 6

Лекція 6

7 Дробовий факторний експеримент

8 Роздільна здатність напівреплік

7 Дробовий факторний експеримент

Експеримент, у якому реалізується – на частина повного факторного експерименту, у результаті чого здійснюється скорочення кількості досліджень у n разів, називається дробовим факторним експериментом.

Скорочення кількості експериментів може бути достатньо в тому випадку, коли функція відгуку - лінійна модель, тобто відсутні ефекти взаємодії.

Розглянемо матрицю ПФЕ :

N	x0	X1	x2	(x3) x1 x2	y
1	+	-	-	+	y1
2	+	-	+	-	y2
3	+	+	+	+	y3
4	+	+	-	-	y4

Використовуючи таку матрицю можна побудувати модель

.

Якщо ефект взаємодії х1х2 відсутній, то коефіцієнт і вектор–стовпчик х1х2 може бути використаний для чисел дослідження х3. Тоді вивчення трьох факторів замість восьми опитів достатньо тільки чотири. При цьому матриця планування не втрачає своїх оптимальних властивостей (симетрії, ортогональності, нормування, ротатабельності) і в результаті отримаємо лінійну модель:

, але при цьому оцінки коефіцієнтів моделі будуть змішані з ефектами взаємодії факторів.

Провівши 4 експерименти для оцінки впливу трьох факторів, ми скористалися половиною ПФЕ , або «напівреплікою». Якщо прирівняти , то отримаємо другу напіврепліку.

Об’єднання цих двох напівреплік дає ПФЕ .

Для позначення дробових реплік використовується позначення:

ДФЕ , - загальна кількість факторів, - кількість факторів, які поставлені відповідно до ефектів взаємодії.

Враховуючи це, розглянутий приклад буде мати позначення ДФЕ .

8 Роздільна здатність напівреплік

При побудові даних реплік апріорі мається на увазі, що ефект взаємодії факторів дорівнює нулю, тобто , і т. ін. Однак на практиці може статися, що це не так. Тому важливо розглядати питання про роздільну здатність дробових напівреплік, щоб знати коли і які коефіцієнти находяться сумісно з ефектами взаємодії і який вплив їх на величину отриманих коефіцієнтів.

Введемо поняття генеруючи співвідношень. Співвідношення, за допомогою яких задаються умови побудови дробових реплік, називаються генеруючими.

Так при побудові ПФЕ використовують матрицю ПФЕ . Тому існує всього дві можливості прирівнювання фактора до коефіцієнтів взаємодії, тобто існує тільки два генеруючих співвідношення:

1) 2) .

Це дає можливість побудувати тільки дві напіврепліки :

N	x1	x2	x3		N	x1	x2	x3
1	-	-	+		1	-	-	-
2	-	+	-		2	-	+	+
3	+	+	+		3	+	+	-
4	+	-	-		4	+	-	+

Для першої матриці виконується умова:

, а для другої . (62)

Вирази (62) називаються визначаючими контрастами. Вони дозволяють визначити порядок змішування ефектів. Для цього необхідно перемножити незалежну змінну на величину контрасту.

Для випадку :

, так як

.

Це означає, що:

.

Для побудови напіврепліки використовують матрицю ПФЕ . Будемо мати вісім генеруючи співвідношень:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

Роздільна здатність реплік, які задаються цими співвідношеннями буде різною. Наприклад, для репліки

контраст - .

Оцінки будуть задаватися співвідношеннями:

Це означає, що оцінки коефіцієнтів лінійної моделі будуть мати такий порядок змішування:

, , , , , , , .

Всі потрійні ефекти взаємодії, як правило, найменш суттєві, чім двійні, тому апріорі їх можна вважати такими, що дорівнюють нулю і всі чотири лінійні ефекти будуть оцінками від своїх факторів, а три парних ефекти – від парних взаємодій факторів. Тому роздільна здатність такої полу репліки достатньо висока і вона дозволяє отримати адекватну лінійну модель:

.

Якщо напіврепліку задано генеруючим співвідношенням , то визначаючи контрастом буде . Тоді сумісні оцінки коефіцієнтів будуть задаватися співвідношеннями:

.

У цьому випадку тільки один лінійний коефіцієнт оцінюють окремо від ефектів взаємодії, а інші коефіцієнти являються змішаними. Тому роздільна здатність такої напіврепліки нижче, ніж попередньої.

Таким чином, репліки 7 та 8 мають максимальну роздільну здатність у порівнянні з репліками 1-6.

Репліки з максимальною роздільною здатністю називають головними.

У випадку відсутності апріорної інформації щодо ефектів взаємодії експериментатор намагається вибрати репліку з найбільшою роздільною здатністю. Однак, якщо експериментатора цікавить щодо ефектів взаємодії, то краще вибрати репліку з меншою роздільною здатністю, оскільки при цьому отримують окремі оцінки для ефектів взаємодії.