Оглавление (стр. 2 )

волновое. Кроме того считаем, что 7 s > e 40 7ew 0 поэтому 7 e 0=0.

Тогда:

│

ik 4z 0H 7f 0= 7s 0E 4r 0 => E 4r 0=0 (1.3.19) │

│

│  7s  0  7 ч 0E 4z

 7ч 0E 4z 7я 0 │ H 7f 0 = ──────── ───── (1.3.22)

───── = i 7mm 40 7w 0H 7f 0 (1.3.20) │ i 7mm 40 7ws  0  7ч 0r

 7ч 0r │

│

 7ч 0H 7f 0 1 │

─── + ─ H 7f 0 = 7 s 0E 4z 0 (1.2.21) │

 7ч 0r r

 7ч 52 0E 4z 7ы  01  7ч 0E 4z

──── + ─ ─── 4  0- i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.23)

 7ч 0r 52 0 r  7ч 0r

Рассмотрим 2 возможных случая:

1) _Снаружи проводника . ( 7s 0=0)

┌ ┐

 7ч 52 0E 4z 0  7  01 7 ч 0E 4z 0 1 7 ч 0 │  7ч 0E 4z 0 │ 7 ч 0E 4z

──── + ─ ─── = 0 => ─ ──│ r─── │ = 0 => r─── = const 41

 7ч 0r 52 7  0r 7 ч 0r r 7 ч 0r│ 7  0  7ч 0r │ 7 ч 0r

└ ┘

 7ч 0E 4z 0 const 41 7 ! 0 const 41

─── 4  0= ────── => E 4z 0= 72 0 ────── dr (1.3.24)

7ч 0r 7к 0 r 7 1 0 r

E 4z 0=const 41 0ln(r)+const 42 0 (1.3.25)

Т. к. при r 76$ 0 поле не может бесконечно возрастать => const 41 0=0,

следовательно E=const 42 0 т. е. не зависит от пространственных координат вокруг проводника.

2) _ Внутри проводника

 7ч 52 0E 4z 7ы  01  7ч 0E 4z

──── + ─ ─── 4  0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.26)

 7ч 0r 52 0 r  7ч 0r

Очевидны граничные условия:

I

E 4z 0│ =E 4z 0│ и H 7f 0│ =H 7f 0│ = ───

│r=R │r=R │r=R │r=R 2 7p 0R (1.3.27)

Таким образом мы получили уравнение:

 7ч 52 0E 4z 7  01 7 ч 0E 4z

──── + ─ ─── 4  0+ k 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.28)

 7ч 0r 52 7  0r 7 ч 0r

где k 52 0=-i 7mm 40 7ws

 7ы 0 ┌ 1 ┐  7ч 0E 4z

H 7f 0=│ ───── │ ─── (1.3.29)

└ i 7mm 40 7w 0 ┘  7ч 0r

Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана (или Вебера )[8,18]:

E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr)+BN 40 0(k 41 0r) (1.3.30)

Однако N 40 0(x) 76$  0при x 76 00 , поэтому мы вынуждены отбросить это

решение и окончательно записать:

E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr) (1.3.31)

Или общее решение:

i 7w 0t

E(r, z,t)=AJ(kr)e (1.3.32)

 7|\ 0 1-i  7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7  0  7  0  7|\\\\

т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5 ──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws

7|\ |\ |\

 7? 0 2  7 ?  02 7  0  7d 0  7 ?  02

 7d 0 - глубина проникновения.

Как известно, расчет значений функции Бесселя комплексного аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной степенью наглядности.

Вместе с тем хорошо известно, что уравнение вида:

 7ч 52 0E 4z 7  01 7 ч 0E 4z

──── + ─ ─── 4  0- i 7l 52 0E 4z 0 = 0 (1.3.33)

 7ч 0r 52 7  0r 7 ч 0r

 7l 52 0= 7mm 40 7ws 0 ; 7 l 0=1/ 7d

имеет решение в виде комбинации функций Кельвина:

E 4z 0=A[ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)]+B[ker 40 0( 7l 0r)+kei 40 0( 7l 0r)] (1.3.34)

Причем функции ker 40 0( 7l 0r) и kei 40 0( 7l 0r) мы должны отбросить по тем же соображениям , что и функции Неймана в предыдущем решении.

Это же легко подтвердить из следующих соображений:

 7|\ 0 - i 7p 0/4

(1-i)/ 7? 02 7  0=e (1.3.35)

Тогда согласно [8] получим:

-i 7p 0/4

ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)=I 40 0( 7l 0re ) (1.3.36)

Очевидно, что : ber 40 0( 7l 0r)=Re{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.37)

bei 40 0( 7l 0r)=Jm{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.38)

Очевидно, что общее решение будет иметь вид :

i 7w 0t

E 4z 0(r, t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}e (1.3.39)

Преобразуем последнее выражение :

E 4z 0(r, t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}{cos( 7w 0t-k 4z 0z)+isin( 7w 0t)}=

┌ ┐

=A│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)-ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│+

└ ┘

┌ ┐

+i│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)+ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│=

└ ┘

┌ 7 |\\\\\\\\\\

=A│((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 7  0cos( 7w 0t+ 7f 0)+

└

 7|\\\\\\\\\\ 0 ┐

+i((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0 sin( 7w 0t+ 7f 0)│; (1.3.40)

┘

bei 40 0(r/ 7d 0)

где tg 7f 0=───────────

ber 40 0(r/ 7d 0)

 7|\\\\\\\\\\

E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0{cos( 7w 0t+ 7f 0)+isin( 7w 0t+ 7f 0)} (1.3.41)

Далее необходимо перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл. Как было показано выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным решениям.

   7|\\\\\\\\\\

E 4z1 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.42)

 7|\\\\\\\\\\

E 4z2 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0sin( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.43)

7|\\\\

где 7 f 0 - определяется выше, а  7d 0=1/ 7?mm 40 7ws

Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно перейти к косинусу путем изменения начала отсчета времени.

Окончательно получим:

┌─────────────────────────────────────────────────────────┐

│ │

│ E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+(bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.44) │

│ │

│ │

│ bei 40 0(r/ 7d 0) 7  0  7|\\\\ 0 │

│ где 7 f 0= arctg─────────── ;  7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7 w 0=2 7pn 0 │

│ ber 40 0(r/ 7d 0) │

└─────────────────────────────────────────────────────────┘

 7n 0 - частота переменного тока

7m 0 - магнитная проницаемость проводника

 7m 40 0=4 7p 0*10 5-7 0 Гн/м - магнитная постоянная

 7s 0 - проводимость проводника

Постоянную A можно определить зная полный ток в любой момент

времени:

 ш1.0 7 

 4R R

 7! ! !

I(t)= 72 0jdS= 72s 0E 4z 02 7p 0rdr=2 7ps2 0E 4z 0(r, t)rdr (1.3.45)

71 1 1

50 0

 7|\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Графики функций ber 40 0(x),bei 40 0(x), 7? 0((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+bei 40 0(r/ 7d 0) 52 0),

7f 0(x) в приложении (на рис. 4,5).

При высоких частотах.

x>>1

 7|\\ |\ |\

ber(x)= 7? 02 7p 0x 7  0exp(x/ 7?  02)cos((x/ 7?  02)- 7p 0/8) (1.3.46)

 7|\\ |\ |\

ber(x)= 7? 02 7p 0x 7  0exp(x/ 7?  02)sin((x/ 7?  02)- 7p 0/8) (1.3.47)

Тогда x=r/ 7d

┌ 7 |\ |\

E 4z 0(r, t)=A│(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7?  02)cos 52 0((x/ 7?  02)- 7p 0/8)+

└

 7|\ 0  7|\ 0  5┐

+(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7?  02)sin 52 0((x/ 7?  02)- 7p 0/8) 5│ 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.48)

 5┘

 7|\\ |\

 7? 02 7p 0x 7  0sin((x/ 7?  02)- 7p 0/8) 7 |\

 7f 0=arctg───────────────────────=arctg{tg((x/ 7?  02)- 7p 0/8)} (1.3.49)

 7|\\ |\

 7? 02 7p 0x 7  0cos((x/ 7?  02)- 7p 0/8)

 7|\

 7f 0=(x/ 7?  02)- 7p 0/8

┌──────────────────────────────────────────────────────────────┐

│E 4z 0(r, t)=A(2 7p 0r/ 7d 0) 5-1/2 0exp(r/ 7d 02 51/2 0)cos( 7w 0t+(r/ 7d 02 51/2 0)- 7p 0/8) (1.3.50)│

└──────────────────────────────────────────────────────────────┘

ш2.0

При малых частотах.

x 76 00 ber(x) 7~ 01 ; bei(x) 7~ 0x 52 0/4 ; tg 7f~ 0x 52 0/4 7~f

Тогда E 4z 0(r, t)=A(1+x 54 0/16) 51/2 0cos( 7w 0t+x 52 0/4) (1.3.51)

 1 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии.

Цилиндрические функции табулированы, однако их машинный расчет является достаточно длительной по времени задачей. Покажем, что плоской геометрии решения очень похожи на решения в цилиндрической геометрии, причем функции sin, exp, cos считаются намного быстрее.

Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, по которой течет ток (шина) (рис.6)

│ 

 76 0 │  4  0│ e 4x  0  4  0e 4y 0  4  0e 4z 0 │ ┌ ┐ ┌ ┐

 76 0  7ч 0B │  76 0 │ │ 4  76 4  0│ 7ч 0E 4z 0  7ч 0E 4y 0│  76 4  0│ 7ч 0E 4x 0  7ч 0E 4z 0│

rotE=-── │ 7  0rotE=│ 7ч 0/ 7ч 0x 7 ч 0/ 7ч 0y 7 ч 0/ 7ч 0z│=e 4x│ 0─── - ───│+e 4y│ 0─── - ───│+

 7ч 0t │ │ │ 4  0│ 7ч 0y  7ч 0z │  4  0│ 7ч 0z  7ч 0x │

(1.4.1) │ │ E 4x 0 E 4y 0 E 4z 0 │ └ ┘ └ ┘

 76 0 │

 76 0  76 0  7ч 0D │

rotH=j+── │ ┌ ┐

 7ч 0t │  76 4  0│ 7ч 0E 4y 0  7ч 0E 4x 0│

(1.4.2) │ +e 4z│ 0─── - ───│ (1.4.3)

 76 6 0 │  4  0│ 7ч 0x  7ч 0y │

j= 7s 0E 7о 0 │ └ ┘

 76  4  76 0 ├────────────────────────────────────────────────────

D= 7ee 40 0E │  7 6 6  0  76 6 6

 76  4  76 0 │ rotE=- 7mm 40 7ч 0H/ 7ч 0t (1.4.4); rotH= 7s 0E+ 7ee 40 7ч 0E/ 7ч 0t (1.4.5)

B= 7mm 40 0H │

Из симметрии задачи очевидно, что 7 ч 0/ 7ч 0y=0

 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x 0  4│ 0  7ч 0H 4y 7  0  7  4  7  4  0  7ч 0E 4x

-─── =- 7mm 40 0─── (1.4.6)  4│ 0 -─── =  7s 0E 4x  0+ 4  7ee 40 0─── (1.4.7)

 7ч 0z 7 ч 0t 4  0  4│ 0  7ч 0z 7  0  7  4  7  4  0  7ч 0t

 4│

 7ч 0E 4x 0  7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 0  4│ 0  7ч 0H 4x 0  7ч 0H 4z 7  0  7  4  7  4  0  7ч 0E 4y

 4─── 0 - ─── =- 7mm 40 0─── (1.4.8)  4│ 0 ─── - ─── =  7s 0E 4y  0+ 4  7ee 40 0─── (1.4.9)

 7ч 0z 4  0  7ч 0x 7 ч 0t 4  0  4│ 0  7ч 0z  7ч 0x 7  0  7  4  7  4  0  7ч 0t

 4│

 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z 0  4│ 0  7ч 0H 4y 7  0  7  4  7  4  0  7ч 0E 4z

─── =- 7mm 40 0─── (1.4.10)  4│ 0 ─── =  7s 0E 4z  0+ 4  7ee 40 0─── (1.4.11)

 7ч 0x 7 ч 0t 4  0  4│ 0  7ч 0x 7  0  7  4  7  0  4  7ч 0t

Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы:

 7) 0 │

 7ч 0H 4y 7  0  7  4  7  4  0  7ч 0E 4z 7 2 0 │  7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x

─── =  7s 0E 4z  0+ 4  7ee 40 0─── (a) 78 0 (a)│ -─── =- 7mm 40 0───

 7ч 0x 7  0  7  4  7  0  4  7ч 0t 7 0 0 │  7ч 0z 7 ч 0t

 7ч 0E 4x 0  7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 7 ) 0 │  7ч 0H 4x 0  7ч 0H 4z 7  0  7  4  7  4  0  7ч 0E 4y

 4─── 0 - ─── =- 7mm 40 0─── (b) 72  0 │ ─── - ─── =  7s 0E 4y  0+ 4  7ee 40 0───

 7ч 0z 4  0  7ч 0x 7  0  7 ч 0t 7  0│ │  7ч 0z  7ч 0x 7  0  7  0  7  4  7  4  0  7ч 0t

 78 0 (a)│

 7ч 0H 4y 7  0  7  4  7  4  0  7ч 0E 4x 7 2 0 │  7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z

-─── =  7s 0E 4x  0+ 4  7ee 40 0─── (c)│ │ ─── =- 7mm 40 0───

 7ч 0z 7  0  7  4  7  4  0  7ч 0t 7 2 0 │  7ч 0x 7 ч 0t

 70 0 │

────────────────────────────────┼────────────────────────────────

С компонентами E 4z 0,H 4y 0,E 4x 0 , эта │ С компонентами H 4z 0,E 4y 0,H 4x 0 , эта

система описывает скин-эффект │ система описывает вихревые токи

────────────────────────────────┴────────────────────────────────

Занимаемся только системой (a) и ищем решения в виде:

 ш1.0

 7)

i 7w 0t  7 ч 2

E 4z 0=E 4z 0(r)e ──=i 7w 2

i 7w 0t  7  0=> 7 ч 0t 7 8 0 (1.4.12)

H 4y 0=H 4y 0(r)e 7 ┌ ч 2

i 7w 0t => ──=-ik 4z 7 2

E 4x 0=E 4x 0(r)e 7 ч 0z 7 2

 70

 7ч 0H 4y

───= 7s 0E 4z 0 (1.4.13)

 7ч 0x

 7ч 0E 4z 0  7ы

─── = i 7mm 40 7w 0H 4y 0 (1.4.14)

 7ч 0x

E 4x 0= 0 (1.4.15)

 7s 0  7 ч 0E 4z

H 4y 0= ─────── 7  0─── (1.4.16)

i 7mm 40 7ws ч 0x

 7ч 52 0E 4z

──── - i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.17)

7ч 0x 52

Таким образом имеем уравнения:

Внутри проводника │ Снаружи проводника ( 7s 0=0)

──────────────────────────────────┼──────────────────────────────

 7ч 52 0E 4z 0 │  7ч 52 0E 4z

──── - i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.18) │ ──── = 0 (1.4.19)

7ч 0x 52 0 │  7ч 0x 52

│

Очевидны граничные условия: │ Решение:

│ E 4z 0=const 41 0x+const 42 0 (1.4.22)

E 4z 0│ = E 4z 0│ (1.4.20) │ Так как поле не может бес-

│r=R │r=R │ конечно возрастать то:

 4внутри 5  4снаружи 0 │ const 41 0=0

│ Поле вне проводника пос

H 4y 0│ = H 4y 0│ (1.4.21) │ тоянно, не зависит от

│r=R │r=R │ пространственных координат

 4внутри снаружи │

│

По теореме о циркуляции легко │ E 4z 0=const 42

получить:   5│

 76 0  76 0 5│ 0  7ee 40 0 1 7 ч 0E 4z

 7# 0Hdl=I (1.4.23)   5│ 0 H 4y 0= ─── ─ 7  0─── 7── 0 (1.4.24)

 5│ 0  7mm 40 7 s ч 0x

5│ 0  5└ 0───┘

I 5* 0   5│ 0  5неопределенность

 7H 4y 02l=I 5* 0l => H 4y 0=──── (1.4.25)  5│ 0 Магнитное поле такое же,

2  5│ 0 как оно было бы вокруг про-

 5│ 0 вода с постоянным током,

I 5* 0 - линейная плотность тока  5│ 0 равным мгновенному значению

 5│ 0 переменного тока.

 ш1.0

Таким образом имеем уравнение:

 7ч 52 0E 4z

──── - k 52 0E 4z 0=0 (1.4.26)

 7ч 0x 52

где k 52 0=i 7mm 40 7ws

Решение этого уравнения хорошо известно[18]:

E(x) = Ae 5ikx 0+Be 5-ikx 0 (1.4.27)

 7|\ 0 1-i  7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7  0  7  0  7|\\\\

т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5 ──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws

7|\ |\ |\

 7? 0 2  7 ?  02 7  0  7d 0  7 ?  02

из геометрии задачи видно, что E 4z 0(x)=E 4z 0(-x) => A=B. Следовательно решение уравнения можно записать в виде:

E(x) = A{e 5ikx 0+e 5-ikx 0} (1.4.28)

Тогда общее решение можно записать в виде (переобозначив некоторые выражения: x/(2 51/2 7s 0)=y, а  7w 0t-k 4z 0z= 7a 0 ):

 4i 7ф

E 4z 0=A{e 5y 0e 5iy 0+e 5-y 0e 5-iy 0}e =A{e 5y 0(cosy+isiny)+e 5-y 0(cosy-isiny)}*

*{cos 7a 0+isin 7a 0}=A{(e 5y 0+e 5-y 0)cosy+i(e 5y 0-e 5-y 0)siny}{cos 7a 0+isin 7a 0}=

┌

=A│{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0-(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}+

└

┐

+i{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0+(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}│=

┘

A{(e 5y 0+e 5-y 0)cos 52 0y+(e 5y 0-e 5-y 0)sin 52 0y} 51/2 0{(cos 7f 0sin 7a 0-sin 7f 0cos 7a 0)+

+i(cos 7f 0sin 7a 0+sin 7f 0cos 7a 0)} (1.4.29)

(e 5y 0-e 5-y 0)siny  5  0e 5y 0-e 5-y

где tg 7f 0=────────────── 5  0= 5  0──────── tgy

(e 5y 0+e 5-y 0)cosy  5  0e 5y 0+e 5-y

Тогда вправе переписать:

┌──────────────────────────────────────────────── 5─ 0────────┐

│ │

│ E 4z 0=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0{cos( 7a 0+ 7f 0)+isin( 7a 0+ 7f 0)} (1.4.30) │

│ │

└─────────────────────────────────────────────────────────┘

Далее следует перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл. Приведенное выше комплексное решение эквивалентно двум вещественным. Оба решения одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в косинус, путем изменения начала отсчета времени. По этим же соображениям путем изменения начала системы отсчета всегда можно положить z=0.

Окончательно получим:

┌──────────────────────────────────────────────────────────┐

│ E 4z 0(r, t)=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.31) │

│ │

│ e 5y 0-e 5-y 0 x  7|\\\\ 0 │

│  7f 0=arctg 5  0──────── tgy ; y=─────── ; 7 d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ;  7w 0=2 7pn  0 │

│ e 5y 0+e 5-y 0 2 51/2 7d 0 │